旋轉不變性

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數學裏,給予一個定義於內積空間函數,假若對於任意旋轉,函數的參數值可能會改變,但是函數的數值仍舊保持不變,則稱此性質為旋轉不變性(rotational invariance),或旋轉對稱性(rotational symmetry),因為函數對於旋轉具有對稱性。例如,假設以xyz-參考系的原點為固定點,任意旋轉xyz-參考系,而函數 f(x,\,y,\,z)=x^2+y^2+z^2 的數值保持不變,因此,函數 f(x,\,y,\,z) 對於任意旋轉具有不變性,或對於任意旋轉具有對稱性。

在物理學裏,假若物理系統的性質跟它在空間的取向無關,則這系統具有旋轉不變性。根據諾特定理,假若物理系統的作用量具有旋轉不變性,則角動量守恆

根據物理學家多年來仔細研究的結果,到目前為止,所有的物理基礎定律都具有旋轉不變性[1]

球對稱位勢範例[编辑]

哈密頓算符的旋轉不變性[编辑]

假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 V(r) ,其哈密頓算符 H 可以表示為

H= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)

其中,\hbar約化普朗克常數m 是質量,r 是徑向距離。

現在,以 z-軸為旋轉軸,旋轉此系統的 x-軸與 y-軸 \theta 角弧,則新直角坐標 \mathbf{r}'=(x',\,y',\,z') 與舊直角坐標的關係式為

x'=x\cos\theta - y\sin\theta
y'=x\sin\theta+y\cos\theta
z'=z

偏導數為

\frac{\partial}{\partial x'}=\cos\theta\frac{\partial}{\partial x} - \sin\theta\frac{\partial}{\partial y}
\frac{\partial}{\partial y'}=\sin\theta\frac{\partial}{\partial x} +\cos\theta\frac{\partial}{\partial y}
\frac{\partial}{\partial z'}=\frac{\partial}{\partial z}

那麼,導數項目具有旋轉不變性:

\nabla'^2=\left(\frac{\partial}{\partial x'}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y'}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial z'}\right)^2=\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^2 =\nabla^2

由於徑向距離具有旋轉不變性:

r'=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r

旋轉之後,新的哈密頓算符 H'

H'= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla'^2+V(r')= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)=H

所以,球對稱位勢量子系統的哈密頓算符具有旋轉不變性。

角動量守恆[编辑]

假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 V(r) ,則哈密頓算符具有旋轉不變性。定義旋轉算符 R 為一個對於 z-軸的無窮小旋轉 \delta\theta 。則正弦函數餘弦函數可以分別近似為

\sin\delta\theta\approx\delta\theta
\cos\delta\theta\approx 1

新直角坐標與舊直角坐標之間的關係式為

x'\approx x - y\delta\theta
y'\approx x\delta\theta+y
z'=z

R 作用於波函數 \psi(x,\,y,\,z)

R\psi(x,\,y,\,z)=\psi(x',\,y',\,z')\approx \psi(x,\,y,\,z)+\frac{i}{\hbar}\delta\theta L_z \psi(x,\,y,\,z)

其中,L_z 是角動量的 z-分量,L_z=xp_y - yp_x= - i\hbar \left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}\right)

所以,旋轉算符 R 可以表達為

R=1+\frac{i}{\hbar}\delta\theta L_z

假設 \psi_E(\mathbf{r}) 是哈密頓算符的能級本徵態,則

H\psi_E(\mathbf{r})=E\psi_E(\mathbf{r})

由於 \mathbf{r} 只是一個虛設變數,

H'\psi_E(\mathbf{r}')=E\psi_E(\mathbf{r}')

在做一個微小旋轉之後,

RH\psi_E(\mathbf{r})=RE\psi_E(\mathbf{r})=ER\psi_E(\mathbf{r})=E\psi_E(\mathbf{r}')
HR\psi_E(\mathbf{r})=H\psi_E(\mathbf{r}')=H'\psi_E(\mathbf{r}')=E\psi_E(\mathbf{r}')

所以,(RH-HR)\psi_E(\mathbf{r})=0 。哈密頓算符的能級本徵態 \psi_E(\mathbf{r}) 形成一組完備集 (complete set),旋轉算符和哈密頓算符的對易關係是

[R,\,H]=0

因此,

[L_z,\,H]=0

根據埃倫費斯特定理L_z期望值對於時間的導數是

\frac{d}{dt}\langle L_z \rangle= \frac{1}{i\hbar}\langle [L_z,\,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial L_z}{\partial t}\right\rangle

所以,

\frac{d}{dt}\langle L_z \rangle=\left\langle \frac{\partial L_z}{\partial t}\right\rangle

由於 L_z 顯性地不含時間,

\frac{d}{dt}\langle L_z \rangle=0

總結,\langle L_z \rangle 不含時間,L_z 是個運動常數。角動量的 z-分量守恆。類似地,可以導出其它分量也擁有同樣的性質。所以,整個角動量守恆。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 古斯, 阿蘭, The Inflationary Universe, Basic Books. 1998:  pp.340, ISBN 978-0201328400 
  • Gasiorowics, Stephen. Quantum Physics (3rd ed.). Wiley. 2003. ISBN 978-0471057000. 
  • Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Prometheus Books. 特別參考第十二章。非專科性書籍。