旋轉因子

旋轉因子原來是指在Cooley-Tukey快速傅里葉變換算法的蝴蝶形運算中所乘上的複數常數，因此常數在複數平面上位於單位圓之上，對於被乘數在複數平面上面會有旋轉的效果，故名為旋轉因子，後來也會用來指稱FFT中的任一常數乘法。

定義

先觀察N點DFT的公式如下

$X[k]= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j(2 \pi nk/N)}\qquad k=0,1,\ldots,N-1$

在這裡定義旋轉因子(twiddle factor)為：

$W_N^{kn} = e^{-j(2 \pi nk/N)}$

其中kn項稱為Numerator，N項稱為Denominator

特性

旋轉因子具有以下兩種特性

• 共軛複數對稱性(Complex conjugate symmetry)

$W_N^{k[N-n]}=W_N^{-kn}=(W_N^{kn})^*$

• 對n,k有週期性(Periodicity in n and k)

$W_N^{kn}=W_N^{k(n+N)}=W_N^{(k+N)n}$