旋轉曲面

曲线x=2+cos z的一部分绕着z轴旋转。

旋转曲面是一个平面曲线绕着一条直线（旋转轴）旋转所得到的曲面。

例子包括球面，由圆绕着其直径旋转而成，以及环面，由圆绕着外面的一条直线旋转而成。

面积

如果曲线由参数方程$x(t)$、$y(t)$给出，其中$a<t<b$，且旋转轴是$y$轴，则旋转曲面$A$的面积由以下的积分给出：

$A = 2 \pi \int_a^b x(t) \ \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt,$

条件是$x(t)$非负。这个公式与古尔丁定理是等价的。

$\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2$

来自勾股定理，表示曲线的一小段弧，像弧长的公式那样。$2\pi x(t)$是这一小段的（重心的）路径。

如果曲线的方程是y = f(x)，a ≤ x ≤ b，则积分变为：

$A=2\pi\int_a^b y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$（绕着x轴旋转），

$A=2\pi\int_a^b x \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy$（绕着y轴旋转）。

这可以由以上的公式推出。

例如，单位半径的球面由曲线x(t) = sin(t)，y(t) = cos(t)旋转而得，其中$0<t<\pi$。所以，它的面积为：

$A = 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \sqrt{\left(\cos(t)\right)^2 + \left(\sin(t)\right)^2} \, dt = 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \, dt = 4\pi.$

对于半径为r的圆$y(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$绕着x轴旋转所得的曲面，

$A = 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx$

$= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,\sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{\frac{1}{r^2 - x^2}}\,dx$

$= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx$

$= 4 \pi r^2\,$

参见

• 旋转体

参考文献

• Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 931-937, 1985.
• Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 42, 1980.
• Gray, A. "Surfaces of Revolution." Ch. 20 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 457-480, 1997.
• Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. "The Cylinder, the Cone, the Conic Sections, and Their Surfaces of Revolution." §2 in Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 7-11, 1999.
• Isenberg, C. The Science of Soap Films and Soap Bubbles. New York: Dover, pp. 79-80 and Appendix III, 1992.