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旋轉群

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經典力學幾何學裏,所有環繞著三維歐幾里得空間的原點的旋轉,組成的,定義為旋轉群。根據定義,環繞著原點的旋轉是一個保持向量長度,保持空間取向(遵守右手定則左手定則)的線性變換

兩個旋轉的複合等於一個旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的旋轉;零角度的旋轉是單位元。旋轉運算滿足結合律.由於符合上述四個要求,所有旋轉的集合是一個。更加地,旋轉群擁有一個天然的流形結構。對於這流形結構,旋轉群的運算是光滑的;所以,它是一個李群。旋轉群時常會用 SO(3) 來表示。

長度與角度[编辑]

除了保持長度(保長),旋轉也保持向量間的角度(保角)。原因是兩向量uv內積可寫作:

\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \tfrac{1}{2}\left(\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2 - \|\mathbf{u}\|^2 - \|\mathbf{v}\|^2\right).

R3中的保長轉換保持了純量內積值不變,也因此保持了向量間的角度。包括SO(3)在內的一般性情形,參見古典群

旋轉軸[编辑]

三維空間中非平凡的旋轉,皆繞著一個固定的「旋轉軸」,此旋轉軸是R3的特定一維線性子空間(參見:歐拉旋轉定理)。旋轉作用在與旋轉軸正交的二維平面,如同尋常的二維旋轉。既然二維旋轉皆可以旋轉角φ表示,則任意三維旋轉則可用旋轉軸搭配旋轉角來表示。

舉例來說,繞著正z軸旋轉φ角的逆時針旋轉為

R_z(\varphi) = \begin{bmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.

給定R3中一單位向量n以及角度φ,設R(φ, n)代表繞n軸作角度φ的逆時針旋轉,則:

  • R(0, n)為相等轉換(identity transformation),n任意單位向量;
  • R(φ, n) = R(−φ, −n);
  • R(π + φ, n) = R(π − φ, −n)。

利用這些特性,參數為旋轉角φ(範圍: 0 ≤ φ ≤ π)與單位向量n的任意旋轉有如下性質:

  • 若φ = 0,n可為任意單位向量;
  • 若0 < φ < π,n為特定單位向量;
  • 若φ = π,n為彼此反向的兩特定單位向量;亦即,旋轉R(π, ±n)是等價的。

有限子群[编辑]

SO(3)中只有很少的几个有限子群,且它们全部是熟悉的对称群,包括有:

相關條目[编辑]

參考文獻[编辑]