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旋轉群

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經典力學幾何學裏,所有環繞著三維歐幾里得空間的原點的旋轉,組成的,定義為旋轉群。根據定義,環繞著原點的旋轉是一個保持向量長度,保持空間取向(遵守右手定則左手定則)的線性變換。假若,一個線形變換保持向量長度,逆反空間取向,則稱此變換為假旋轉

兩個旋轉的複合等於一個旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的旋轉;零角度的旋轉是單位元。旋轉運算滿足結合律.由於符合上述四個要求,所有旋轉的集合是一個。更加地,旋轉群擁有一個天然的流形結構。對於這流形結構,旋轉群的運算是光滑的;所以,它是一個李群。旋轉群時常會用 SO(3) 來表示。

对SO(3)的有限子群进行分类,SO(3)中只有很少的几个有限子群,且它们全部是熟悉的对称群。

定理 SO(3)的有限子群是下列之一:

  • Ck 绕一条直线转过角度2π/k的倍数的旋转的循环群
  • Dk 正k边形的二面体群
  • T 将正四面体映为自身的十二个旋转四面体群
  • O 立方体或正八面体旋转的24阶八面体群
  • I 正十二面体或正二十面体的60个旋转的二十面体群

參閱[编辑]