旋量群

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群论
Rubik's cube.svg

数学中,旋量群 Spin(n) 是特殊正交群 SO(n) 的二重覆叠,使得存在李群短正合列

1 \to \mathbb{Z}_2 \to \operatorname{Spin}(n) \to \operatorname{SO}(n) \to 1

n > 2, Spin(n) 单连通,从而是 SO(n) 的万有覆叠空间。作为李群 Spin(n) 及其李代数和特殊正交群 SO(n) 有相同的维数 n(n − 1)/2。

Spin(n) 可以构造为克利福德代数 Cℓ(n) 可逆元群的一个子群。Spin(n) 由所有写成个偶数个单位向量的克利福德乘积的元素生成。对应到 SO(n) 中恰是沿着垂直于这偶数个向量的超平面反射的复合。

巧合同构[编辑]

维数比较低时,典型李群之间存在同构,称为“巧合同构”。例如,低维旋量群和一定的典型李群同构,这是因为不同的低维单李代数根系之间存在同构。特别的我们有:

Spin(1) = O(1) = Z2
Spin(2) = U(1) = SO(2) = S1
Spin(3) = Sp(1) = SU(2) = HU(1) = S3
Spin(4) = Sp(1) × Sp(1)
Spin(5) = Sp(2) = HU(2)
Spin(6) = SU(4)

n = 7,8 仍然有退化的同构,细节可参见 Spin(8);对更高的维数,这样的同构完全消失。

不定符号[编辑]

对于不定符号,旋量群 Spin(p,q) 通过克利福德代数用类似于标准旋量群的方式构造,由能写成偶数个模+1和偶数个模-1单位向量的克利福德乘积的元素生成。它是一个 SO0(p,q)(不定正交群 SO(p,q) 含单位元连通分支)的连通二重覆叠。Spin(p,q) 的连通性不同作者有不同的约定,此文中取 p+q>2 时连通。不定符号低维时,也有一些巧合同构:

Spin(1,1) = GL(1,R)
Spin(2,1) = SL(2,R)
Spin(3,1) = SL(2,C)
Spin(2,2) = SL(2,R) × SL(2,R)
Spin(4,1) = Sp(1,1)
Spin(3,2) = Sp(4,R)
Spin(5,1) = SL(2,H)
Spin(4,2) = SU(2,2)
Spin(3,3) = SL(4,R)

注意有 Spin(p,q) = Spin(q,p)。

拓扑[编辑]

连通单连通的李群由它们的李代数决定。所以,如果 G 是具有单李代数的连通李群,G′ 是 G 的万有覆叠,有包含

 \pi_1 (G) \subset Z(G'),

这里 Z(G′) 是 G中心。这个包含映射和 G 的李代数 \mathfrak{g} 完全确定了 G (注意 \mathfrak{g}\pi_1 (G) 不能完全确定 G,例如 SL(2,R) 和 PSL(2,R) 有相同的李代数和基本群 \mathbb{Z},但却不同构)。

定符号 Spin(n) 对 n > 2 都是单连通的,所以它们是 SO(n) 的万有覆叠。不定符号时,Spin(p,q) 的极大紧子群

(\mbox{Spin}(p) \times \mbox{Spin}(q))/ \{(1,1),(-1,-1)\}

这样我们就可计算出 Spin(p,q) 的基本群:

\pi_1(\mbox{Spin}(p,q)) = \begin{cases}
\{0\} & (p,q)=(1,1) \mbox{ or } (1,0) \\
\{0\} & p > 2, q = 0,1 \\
\mathbb{Z} & (p,q)=(2,0) \mbox{ or } (2,1) \\
\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} & (p,q) = (2,2) \\
\mathbb{Z} & p > 2, q=2 \\
\mathbb{Z}_2 & p >2, q >2 \\
\end{cases}

p, q>2,这意味着映射 \pi_1(\mbox{Spin}(p,q)) \to \pi_1(SO(p,q)) 1 \in \mathbb{Z}_2 映到 (1,1) \in \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 给出; 对 p=2,q>2,映射由 1 \in \mathbb{Z} \to (1,1) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2 ;最后,对 p = q = 2, (1,0) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} 映到 (1,1) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} (0,1) 映到 (1,-1)

参考资料[编辑]

  • F.Reece Harvey, Spinors and Calibrations, Academic Press, Inc., 1990.
  • Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, LMSLNS 239, Cambridge University Press,1997.
  • PlanetMath, Spin Groups.

参见[编辑]