无字证明

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无字证明英语proof without words)是指仅用图像而无需文字解释就能不证自明的数学命题。由于其不证自明的特性,这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理。[1]无字证明通常只是用图像来说明一个证明中的特例,因而需要推广才能构成完整的证明。[2]

奇数之和定理的无字证明
周髀算经》中勾股定理的无字证明
延森不等式的无字证明

示例[编辑]

奇数之和[编辑]

从1至2n-1之间的所有奇数之和为平方数n2的无字证明如右图所示。[3]第一个正方形由一个方块组成,即1为首个平方数。之后增加3个白色方块以组成第二个正方形,总共有4个方块,即4为第二个平方数。之后再增加5个黑色方块组成下一个平方数9,并以此类推。

勾股定理[编辑]

勾股定理可以由右边第二张图(出自《周髀算经》)进行证明。通过两种不同的方法计算大的正方形的面积可以得到

a^2 + b^2 = c^2\,

虽然没有上一个例子那么明显,但也可以看作是无字证明。[4]

延森不等式[编辑]

延森不等式可由右边第三张图加以证明。沿X轴的点曲线为X的假想分布,沿Y轴的点曲线则为相应的Y的分布。可以看到随着X值的增大,凸映射Y(X)使得分布不断地“延长”。[5]

参见[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ Dunham 1994,第120页
  2. ^ MathWorldProof without Words 的资料,作者:埃里克·韦斯坦因。 Retrieved on 2008-6-20
  3. ^ Dunham 1994,第121页
  4. ^ Nelsen 1997,第3页
  5. ^ Jensen's Inequality, Bulletin of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 1937, 43 (8): 527 

参考文献[编辑]

  • Dunham, William, The Mathematical Universe, John Wiley and Sons. 1974, ISBN 0-471-53656-3 
  • Nelsen, Roger B., Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America. 1997:  160, ISBN 978-0-88385-700-7 
  • Nelsen, Roger B., Proofs without Words II: More Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America. 2000:  142, ISBN 0-88385-721-9