无平方数因数的数

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無平方数因数的数Square-Free)是指其因數中,沒有一個是平方數整數,即若一個數R是無平方数因数的数,則對於任意平方數S^2S^2 \le RS^2 \nmid R;或者說當R = P_1 P_2 P_3 ... P_nP_1, P_2, P_3, ..., P_n皆為質數時,對於任意1 \le i,j \le ni \ne j而言,P_i \ne P_j

另一方面,默比乌斯函数\mu (n) \ne 0當且僅當n \ge 1n = 1n為無平方数因数的数時

前20個無平方因數的數是:1235671011131415171921222326293031OEIS中的数列A005117

由於「無平方数因数的数」的所有質因數指數均為一次方,故有關數的因數數目必定是2的整數次方(1除外)。

不含平方因子的数的分布[编辑]

如果用Q(x)来表示1和x之间的不含平方因子的数,则:

Q(x) = \frac{6x}{\pi^2} + O(\sqrt{x})

因此,不含平方因子的数的自然密度为:

\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)}

其中ζ是黎曼ζ函数

类似地,如果用Q(x,n)来表示1和x之间的不含n次方因子的数,则我们可以证明:

\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x,n)}{x} = \frac{1}{\zeta(n)}.