无条件收敛

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数学中,一个级数\scriptstyle \sum_{i \in \mathcal{I}} a_i无条件收敛于一个特定值\beta,是指对任意小的差别\epsilon,都会存在\scriptstyle \mathcal{I}中的一个子集\scriptstyle \mathcal{S},使得对所有的包含\scriptstyle \mathcal{S}的集合\scriptstyle \mathcal{T},里面的元素加起来的和与\beta之间的差距都小于\epsilon

\left| \sum_{i \in \mathcal{T}} a_i - \beta \right| \le \epsilon

集合\scriptstyle \mathcal{I}可数集合的时候,无条件收敛等价于说“任意排列级数项的顺序都会收敛”,具体来说。一个级数 \sum_{n=1}^\infty x_n无条件收敛于一个特定值\beta当且仅当对任意的从自然数到自然数的置换\sigma,级数\sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)}都收敛。

\scriptstyle \mathcal{I}是不可数的集合时,无条件收敛也称为网收敛

与绝对收敛的关系[编辑]

无条件收敛是定义在装备了距离赋范向量空间中定义的。在赋范向量空间中还有另外一类收敛,称为绝对收敛。绝对收敛的定义是:一个级数 \sum_{n=1}^\infty x_n绝对收敛,当且仅当实数列:

 \sum_{n=1}^\infty \| x_n \|

收敛。

对于通常的实数级数或复数级数,无条件收敛和绝对收敛是等价的。在一般的有限维的巴拿赫空间中,两者也是等价的概念。而对于更一般的情况,绝对收敛能够推出无条件收敛,但反之无条件收敛并不能推出绝对收敛。

参见[编辑]

参考来源[编辑]

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