无界算子

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数学中, 特别是泛函分析算符理论, 无界算子的概念提供了用于处理微分算符, 量子力学中无界可观测量等的一个抽象框架.

"无界算子" 的名称具有一定的误导性,这是因为

  • "无界" 有时可以被理解为 "无需有界";
  • "算符" 当被理解为 "线性算符" (这和"有界算子"是相同的);
  • 算符的定义域为线性子空间, 不必为全空间;
  • 线性子空间不必有界; 一般被假定为稠密;
  • 特殊情况下的有界算子, 定义域被假定为全空间

不同于有界算子, 给定空间上的无界算子不构成代数,甚至不构成线性空间,这是因为每一个无界算子有各自的定义域。

"算子"通常指"有界线性算子", 但在以下内容中默认指"无界算子". 给定空间默认为希尔伯特空间. 但可以扩展到巴拿赫空间与更有普遍性的拓扑矢量空间.

历史简述[编辑]

无界算子理论诞生于20世纪20年代后期,30年代前期,作为量子力学这套严格的数学框架的一部分而得到发展.[1] The theory's development is due to John von Neumann[2] and Marshall Stone.[3] 冯诺依曼在1936年利用图对无界算符进行分析.[4]

定义与基本性质[编辑]

B1B2巴拿赫空间. 无界算子 (或简称为算子) T : B1B2是一个线性映射 T, 从B1 的线性子空间D(T) (T的定义域)映射到空间 B2.[5] 不同于惯例, T 可能不定义在整个空间B1.

如果函数图 Γ(T) 为一个闭集,算子T被称为有界.[6] (这里,图 Γ(T) 是直和B1B2的一个线性子空间,定义为所以对(x, Tx)的集合, x定义在T上). 这意味着,对所有来自域T的点列(xn),xn收敛到xTxn 收敛到y, x在域T上成立,且 Tx = y.[6] 有界性可以通过图模描述: 算符 T 是有界的, 当且仅当它的定义域 D(T) 是关于下面的模的完备空间:[7]

 
    \|x\|_T = \sqrt{ \|x\|^2 + \|Tx\|^2 }\ .

如果在B1上定义域稠密,算子 T稠密定义。这同样包括定义在整个 B1 上的算子, 因为整个空间本身稠密。 定义域的稠密是转置与伴随函数存在的充分必要条件。

T : B1B2为闭集, 在它的定义域上稠密且连续, 则它定义在B1上.[8]

如果 T + a 是实数 a的正算符,希尔伯特空间 H 上稠密定义的算符 T被称作下有界. 即,对所有T域上的x来说,Tx|x⟩ ≥ −a·||x||2 .[9] 如果 T 与 (–T) 都是下有界的,T有界.[9]

References[编辑]

  • Berezansky, Y.M.; Sheftel, Z.G.; Us, G.F., Functional analysis, II, Birkhäuser. 1996  (see Chapter 12 "General theory of unbounded operators in Hilbert spaces").
  • Brezis, Haïm, Analyse fonctionnelle — Théorie et applications, Paris: Mason. 1983 (French) 
  • Hazewinkel, Michiel., Unbounded operator, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
  • Hall, B.C., Chapter 9. Unbounded Self-adjoint Operators, Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, Springer. 2013 
  • Kato, Tosio, Chapter 5. Operators in Hilbert Space, Perturbation theory for linear operators, Classics in Mathematics, Springer-Verlag. 1995, ISBN 3-540-58661-X 
  • Pedersen, Gert K., Analysis now, Springer. 1989  (see Chapter 5 "Unbounded operators").
  • Reed, Michael; Simon, Barry, Methods of Modern Mathematical Physics, 1: Functional Analysis. revised and enlarged, Academic Press. 1980  (see Chapter 8 "Unbounded operators").
  • Yoshida, Kôsaku, Functional Analysis. sixth, Springer. 1980 

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  1. ^ Reed & Simon 1980,Notes to Chapter VIII, page 305
  2. ^ von Neumann, J., Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Functionaloperatoren (General Eigenvalue Theory of Hermitian Functional Operators), Mathematische Annalen. 1930, 102 (1): 49–131, doi:10.1007/BF01782338 
  3. ^ Stone, Marshall Harvey. Linear Transformations in Hilbert Space and Their Applications to Analysis. Reprint of the 1932 Ed. American Mathematical Society. 1932. ISBN 978-0-8218-7452-3. 
  4. ^ von Neumann, J., Über Adjungierte Funktionaloperatore (On Adjoint Functional Operators), Annals of Mathematics, Second Series. 1936, 33 (2): 294–310, doi:10.2307/1968331 
  5. ^ Pedersen 1989,5.1.1
  6. ^ 6.0 6.1 Pedersen 1989,5.1.4
  7. ^ Berezansky,Sheftel & Us(1996),page 5
  8. ^ Suppose fj is a sequence in the domain of T that converges to gB1. Since T is uniformly continuous on its domain, Tfj is Cauchy in B2. Thus, (fj, Tfj) is Cauchy and so converges to some (f, Tf) since the graph of T is closed. Hence, f = g, and the domain of T is closed.
  9. ^ 引用错误:无效<ref>标签;未为name属性为Pedersen-5.1.12的引用提供文字