无穷

各种各样的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}$ 整數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}$ 高斯整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}$ 代數數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}$ 實數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}$ 複數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}$

延伸

雙複數 四元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}$ 共四元數 八元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}$ 複四元數 大實數 超實數 $\begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 $\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$ = 3.141592653… 自然對數的底 $\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ = 2.718281828… 虛數單位 $\begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}$ = $\begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}$ 無窮大 $\begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}$

無窮或無限，數學符號為∞。來自於拉丁文的「infinitas」，即「沒有邊界」的意思。它在神學、哲學、數學和日常生活中有著不同的概念。通常使用這個詞的時候並不涉及它的更加技術層面的定義。

在神學方面，例如在像神學家東斯歌德（Duns Scotus）的著作中，上帝的無限能量是運用在無約束上，而不是運用在無限量上。在哲學方面，無窮可以歸因於空間和時間。在神學和哲學兩方面，無窮又作為無限，很多文章都探討過無限、絕對、上帝和芝諾悖論等的問題。

在數學方面，無窮與下述的主題或概念相關：數學的極限、阿列夫數、集合論中的類、戴德金－無限群、羅素悖論、超實數、射影幾何、擴展的實數軸以及絕對無限。在一些主題或概念中，無窮被認為是一個超越邊界而增加的概念，而不是一個數。

在大眾文化方面，动画电影《玩具总动员》中巴斯光年的口頭禪：「To infinity... and beyond!」（到達無窮，超越無窮），這句話也可被看作研究大型基數的集合論者的吶喊。

歷史

早期無限的觀點

最早關於無限的記載出現在印度的夜柔吠陀（公元前1200－900）。書中說：「如果你從無限中移走或添加一部分，剩下的還是無限。」

印度耆那教的經書《Surya Prajnapti》(c. 400 BC) 把數分作三類：「可計的」、「不可計的」及「無限」。每一類再細分作三序分：

• 可計的：小的、中的與大的。
• 不可計的：接近不可計的、真正不可計的、沒有方法去計的，以及無限也包括在內。
• 無限：接近無限、真正無限與無窮無盡。

現代科學家解析古代羊皮卷中的阿基米德手稿，在殘卷《方法》命題14中，發現阿基米德開始計算無窮大的數目。他採取近似於19世紀微積分與集合論的手法，計算了兩組無窮大的集合，以求和的方法，證明它們之間的數目是相等的。

這是在人類記載上第一次出現無限也可以分類這一個念頭。

文藝復興時代至近代

伽利略最先發現一個集合跟它自己的正適子集可以有相同的大小。

他用上一一對應的概念說明自然數集{1, 2, 3, 4 ...}跟子集平方數集{1,4,9,16,...}一樣多。就是1→1、2→4、3→9、4→16、.....

一一對應正是用於研究無限必要的手法。

神學中的無窮

我們眼中的無限在上帝眼中都為有限，我們無法理解上帝的無限，因為我們不被允許跨越過上帝的知識範圍。

數學中的無窮

對於無限有以下解釋或定義

「無限不是指邊界外就沒有東西，而是指邊界外永遠有另一個邊界存在。」

實分析中的無窮

在實分析中，符號 $\infty$ 稱為「無窮」，代表無界極限。$x \to \infty$ 表示 $x \quad$ 超出任意給定值，$x \to -\infty$ 表示 $x \quad$ 最終小於任意給定值。標記為 $\infty$ 和 $-\infty$ 的點加入到實數組成的拓撲空間，就產生實數集的「兩點緊致化」。再加入代數屬性，我們就得到了超實數。也可將 $\infty$ 和 $-\infty$ 作為一個點，並得到實數的「一點緊致化」，也就是實射影線。射影幾何在平面幾何上引入無窮遠線，在高維上也有類似概念。

無窮大和無窮小

一般講無窮指的都是無窮大，但是無窮小也是一種無窮。通過 $y=1/x$ 的映射即可把無窮大映射為無窮小。在微積分中，常用高階無窮小的概念。

無窮遠點

無窮遠點是一個加在實數軸上後得到實射影直線$\mathbb{R}P^1$的點。

集合論中的無窮

在集合論中對無窮有不同的定義。德國數學家康托爾提出，對應於不同無窮集合的元素的個數（基數），有不同的「無窮」。

這裏比較不同的無窮的「大小」的時候唯一的辦法就是通過是否可以建立「一一對應關係」來判斷，而拋棄了歐幾裏得「整體大於部分」的看法。例如整數集和自然數集由於可以建立一一對應的關係，它們就具有相同的無窮基數。

例如，

• 可數集合，如自然數集，整數集乃至有理數集對應的基數被定義為阿列夫0（$\aleph_0$）。
• 比可數集合「大」的稱之為不可數集合，如實數集，其基數與自然數的冪集相同（$2^{\aleph_0}$）。
• 由於一個無窮集合的冪集總是具有比它本身更高的基數，所以通過構造一系列的冪集，可以證明無窮的基數的個數是無窮的。然而有趣的是，無窮基數的個數比任何基數都多，從而它是一個比任何無窮大都要大的「無窮大」，它不能對應於一個基數，否則會產生康托爾悖論的一種形式。

無窮的虛數形式標記

無窮是自然科學理論及現象描述中的重要概念及思想，當取

$s = \arctan \left( i \right)$ ， $i^2 = -1 \quad$

時，通過Euler公式可得

$-i \times \tanh(i \cdot s) = \tan(s) = i$ ，

$\exp(i \cdot s) = 0$ 。

這表明 $is \quad$ 是對負無窮大（$- \infty$）予以虛數形式的標記。

無窮影象

被普遍認為的「兩塊鏡子產生無窮影象」實際上是錯的。首先，在物理學界，光的速度是有限的（約每秒 300,000,000 米），鏡子上我們能看到的影像是因為光在鏡子上反射才會出現。可是，光的速度有限，因此兩塊鏡子產生的影象亦會有限，而且影象的數目會以一直變慢的增長率增加。

參考條目

• 0.999…
• 非標准分析
• 連續統假設
• 無限猴子定理
• 無窮公理
• 銜尾蛇