无穷公理

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公理化集合论和使用它的逻辑数学计算机科学中,无穷公理Zermelo-Fraenkel 集合论公理之一。

形式陈述[编辑]

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中,这个公理读作:

\exists \mathbf{N}: \varnothing \in \mathbf{N} \land (\forall x: x \in \mathbf{N} \implies x \cup \{x\} \in \mathbf{N})

或用非形式化的語言陳述:存在一个集合 N,使得空集N 中,并且只要 xN 的成员,则x 与它的单元素集合 {x} 此兩者的并集也是 N 的成员。这种集合有时也叫做归纳集合。归纳集合是带有如下性质的集合 X :对于所有 x ∈ Xx 的后继 x ' 也是 X 的一个元素

解释[编辑]

要理解这个公理,首先我们要定义 x 的后继为 x ∪ {x}。注意配对公理允许我们形成单元素集合 {x}。 后继是用来定义自然数的常用的集合论编码。在这种编码中,0是空集(0 = {}),而 1 是 0 的后继:

1 = 0 ∪{0} = {} ∪ {0}= {0}

类似地,2 是1 的后继:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1}

如此类推。这个定义的推论是對於任何自然數n,n等同于由它的所有前驱(predecessor)組成的集合。

我们希望可以形成包含所有自然数的一個集合,但是只使用其他ZF公理的話並不能做到這一點。因此,有必要加入无穷公理以假定这个集合的存在。它是通过类似于数学归纳法的方法完成的:首先假定有一个集合 S 包含零,并接着規定对于 S 的所有元素,这个元素的后继也在 S 中。

这个集合 S 可以不只是包含自然数,還包含別的元素。但是我们可以应用分类公理模式来除去不想要的元素,留下所有自然数的集合 N。通过外延公理可知这个集合是唯一的。应用分类(分离)公理的结果是:

\exists \mathbf{N} \forall n (n \in \mathbf{N} \iff ([\forall k \in n(\bot) \or \exists k \in n( \forall j \in k(j \in n) \land \forall j \in n(j=k \lor j \in k))] \land
\forall m \in n[\forall k \in m(\bot) \or \exists k \in n(k \in m \land \forall j \in k(j \in m) \land \forall j \in m(j=k \lor j \in k))]))

用非形式化的語言陳述:所有自然数的集合存在;这里的自然数要么是零,要么是一个自然數k的后继,并且k的每个元素要么是0要么是k的另外一个元素的后继。

所以这个公理的本质是:

有一个集合包含所有的自然数。

无穷公理也是von Neumann-Bernays-Gödel 公理之一。

引用[编辑]