无穷小变换

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数学裡,无穷小变换是小变换的一个无穷小极限。例如我们可以谈论三维空间中一个刚体无穷小旋转。这通常由一个 3×3 反对称矩阵 A 表示。它不是空间中的实际旋转;但是对一个小参数 ε,我们有

I+\varepsilon A

与小旋转之差只是 ε2 阶量。

无穷小变换的综合理论最早由索甫斯·李给出。事实上这是他在如今称为李群及其李代数方面工作的核心;以及它们在几何特别是微分方程中作用的等同。一个抽象李群的性质正是无穷小变换的那些限定,正如群论的公理实现了对称。

例如,在无穷小旋转情形,将一个反对称矩阵与一个三维向量等同,则李代数结构由叉积给出。这相当于选取旋转的一个轴;雅可比恒等式是叉积一个熟知的性质。

无穷小变换最早的例子可能认为出现于齐次函数的欧拉定理中。它断言 n 个变量 x1, ..., xn 的一个度数为 r 的齐次函数 F,满足

H\cdot F=rF

其中

H=\sum_i x_i{\partial\over\partial x_i}

是一个微分算子。这是由性质

F(\lambda x_1,\dots, \lambda x_n)=\lambda^r F(x_1,\dots,x_n)

我们可对 λ 微分,然后取 λ 等于 1。这是光滑函数 F 有齐次性质的一个必要条件;这也是充足的(通过利用施瓦兹分布我们简化这里考虑的数学分析)。在我们有一个缩放算子的单参数子群时这个过程是典型的;变换的信息事实上包含于一阶微分算子无穷小变换中。

算子方程

e^{tD}f(x)=f(x+t)

这里

D={d\over dx}

泰勒定理的一个算子版本,从而只对 f 是一个解析函数成立。集中于算子部分,它实际上说明 D 是一个无穷小变换,通过指数生成在实直线上的平移。在李理论中,这推广得很远。任何连通空间李群可由它的无穷小生成元(这个群李代数的一个基)构造出来;贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式中给出了清晰不过未必总有用的信息。