无穷远点

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无穷远点,又称为理想点,是一个加在实数轴上后得到实射影直线\mathbb{R}P^1的点。实射影直线与扩展的实数轴不是一样的,扩展的实数轴有两个不同的无穷远点。

无穷远点也可以加在复平面\mathbb{C}^1上,于是把它变成一个闭曲面,称为黎曼球面\mathbb{C}P^1。(把球面穿一个孔,并把所得到的边拉开来,便得到一个平面;相反的过程便把复平面变为\mathbb{C}P^1:在平面外加上一个点,并把平面向这个点包起来,便得到球面。)

这个结构可以推广到任何拓扑空间。所得到的空间称为原空间的单点紧化。因此,圆形是直线的单点紧化,而球面则是平面的单点紧化。

现在考虑实射影平面\mathbb{R}P^2上的一对平行直线。由于这对直线是平行的,因此它们相交于无穷远点,这个点位于\mathbb{R}P^2无穷远直线上。更进一步,这两条直线都\mathbb{R}P^2上的射影直线:每一条都有自己的无穷远点。当一对射影直线平行时,它们相交于它们公共的无穷远点。

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参考文献[编辑]