无穷递降法

无穷递降法，又名無窮遞減法，是数学中证明方程无解的一种方法。

步骤

• 假设方程有解，并设X为最小的解。
• 从X推出一个更小的解Y。
• 从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。

一些實用的例子

a²+b²=3(s²+t²)無非平凡解

证明下列方程无正整数解:

$a^2+b^2=3 \cdot (s^2+t^2),\,$

证明:

假设该方程有正整数解。

设$a_1, b_1, s_1, t_1$为最小的解。即

$a_1^2+b_1^2 = 3 \cdot (s_1^2+t_1^2)$

显然，$a_1$和$b_1$都必须能被3整除。设

$3 a_2 = a_1\,$及$3 b_2 = b_1.\,$

我们得到

$(3 a_2)^2 + (3 b_2)^2 = 3 \cdot (s_1^2+t_1^2)$

$3(a_2^2+b_2^2) = s_1^2+t_1^2.\,$

这是更小的解，与$a_1, b_1, s_1, t_1$的最小性相矛盾。所以，原方程无正整数解。

2^0.5的無理性

假設2^0.5是有理數，即p²=2q²有正整數解。

令f(x,y)=x+y

令(p,q)是此方程的最小解
易知p是偶數，從得q是偶數
==>(q/2,p/2)<(p,q)
和(p,q)是此方程的最小解矛盾，故無正整數解
==>從得2^0.5是無理數

參見

Vieta jump
反證法