无穷递降法

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无穷递降法,又名無窮遞減法,是数学中证明方程无解的一种方法。

步骤[编辑]

  • 假设方程有解,并设X为最小的解。
  • 从X推出一个更小的解Y。
  • 从而与X的最小性相矛盾。所以,方程无解。

一些實用的例子[编辑]

a2+b2=3(s2+t2)無非平凡解[编辑]

证明下列方程无正整数解:

a^2+b^2=3 \cdot (s^2+t^2),\,

证明:

假设该方程有正整数解。

a_1, b_1, s_1, t_1为最小的解。即

 a_1^2+b_1^2 = 3 \cdot (s_1^2+t_1^2)

显然,a_1b_1都必须能被3整除。设

3 a_2 = a_1\,  3 b_2 = b_1.\,

我们得到

 (3 a_2)^2 + (3 b_2)^2 = 3 \cdot (s_1^2+t_1^2)
 3(a_2^2+b_2^2) = s_1^2+t_1^2.\,

这是更小的解,与a_1, b_1, s_1, t_1的最小性相矛盾。所以,原方程无正整数解。

\sqrt{2}的無理性[编辑]

假設\sqrt{2}有理數,即p^2=2q^2正整數解。
(p,q)是此方程的最小解
易知p是偶數,從得q是偶數
(p/2,q/2)<(p,q)
(p,q)是此方程的最小解矛盾,故無正整數解
⇒從得\sqrt{2}無理數

參見[编辑]