无量纲量

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量綱分析中,無量綱量,或称无因次量、无维量、无维度量、无维数量、无次元量等,指的是沒有量綱。它是個單純的數字,量綱為1。[1]無量綱量在數學物理學工程學經濟學以及日常生活中(如數數)被廣泛使用。一些廣為人知的無量綱量包括圓周率(π)、歐拉常數(e)和黃金分割率(φ)等。與之相對的是有量綱量,擁有諸如長度、面積、時間等單位。

無量綱量常寫作兩個有量綱量之,但其最終的綱量互相消除後會得出無量綱量。比如,應變是量度形變的量,定義為長度差與原先長度之比。但由於兩者的量綱均為L(長度),因此相除後得出的量是沒有量綱的。

屬性[编辑]

  • 雖然無量綱量本身沒有量綱,但是它也有時被加以無量綱的單位。在分子和分母使用同樣的單位(kg/kg或mol/mol),有時可以幫助表達所測量的數值(如質量百分濃度摩爾份數等)。某些量還可以表示為不同的單位之比,但這兩個單位的量綱相同(如光年除以)。這種做法可以用於計算圖表中的斜率,或者進行單位轉換。這樣的寫法並不意味著存在量綱,而只不過是符號表達上的慣例。其他常用的無量綱量有:%=0.01,百分率;‰=0.001,千分率;ppm=10−6百萬分率;ppb(=10−9十億分率;ppt=10−12兆分率(萬億分率)以及角度單位(弧度梯度)等等。
  • 兩個具有相同量綱之比是沒有量綱的,而且無論用甚麼單位計算,該量還是不變的。例如,如果物體A對物體B施大小為F的作用力,那B也會向A施大小為f的力。兩個力的比率F/f永遠等於1(見牛頓第三定律),而不取決於測量Ff所用的單位。這是因為物理中一個重要的假設:物理定律是獨立於人們選用的單位制的。如果以上的F/f不經常等於1,而在我們從國際單位制轉用厘米-克-秒制時改變了的話,這就意味著牛頓第三定律的真偽要看我們選取哪一種單位制,而這就與假設矛盾了。這一假設是白金漢π定理的基礎,其表述為:所有物理定律均能以數個無量綱量的數學組合(加、減、乘、除等等)寫成恆等式。如果無量綱量組合後的值在替換所用單位制後改變了的話,那麼白金漢π定理就不成立了。

白金漢π定理[编辑]

白金漢π定理的另一項推論為,如果n變數之間有某種函數關係,而這些變數中有k個獨立的量綱,則可以產生p = nk個獨立的無量綱量。

例子[编辑]

磁力攪拌器電功率是被攪拌液體的密度黏度、攪拌器的直徑及攪拌速度的函數。因此這裡共有n = 5個變量

n = 5個變量共由以下k = 3個量綱組成:

  • 長度:L (m)
  • 時間:T (s)
  • 質量:M (kg)

根據該定理,通過組合這n = 5個變量,可以得出p = nk = 5 − 3 = 2個獨立的無量綱量。此例中的這兩個無量綱量分別為:

  • 雷諾數(描述流體流動的無量綱量)
  • 功率數(描述攪拌器,同時包含流體密度的無量綱量)

例子[编辑]

  • 在10個蘋果中,有1個是壞了的。總蘋果數中壞蘋果的比例為1個蘋果/10個蘋果= 0.1 = 10%,這是個無量綱量。
  • :角度的定義為,以圓心為頂點劃出的弧的長度除以某另一長度。這個比率由長度除以長度所得,因此是個無量綱量。當所用的(無量綱)單位為弧度時,那個「另一長度」就是圓的半徑。當單位為角度時,「另一長度」就是圓周長的360分之1。
  • 圓周率是個無量綱量,定義為圓周長與直徑之比。該數值無論在用甚麼單位量度這些長度時(釐米、英里、光年等等)都會是相同的,只要周長和直徑以同樣的單位量度。

無量綱量列表[编辑]

下表中所有的量均為無量綱量:

名稱 標準符號 定義 應用範疇
阿贝数 V V = \frac{ n_d - 1 }{ n_F - n_C } 光學光的色散
活度系數 γ  \gamma= \frac {{a}}{{x}} 化學(活躍分子或原子佔總數之比)
反照率 \alpha {\alpha}= (1-D) \bar \alpha(\theta_i) + D \bar{ \bar \alpha} 氣候學天文學
勞侖茲因子 \gamma \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } = \frac{1}{\sqrt{1- \beta^2} } 相對論
阿基米德數 Ar  Ar = \frac{g L^3 \rho_\ell (\rho - \rho_\ell)}{\mu^2} 密度差造成的流體運動
阿倫尼烏斯數 \alpha 活化能熱能之比[2]
相對原子質量 M 化學
伯格诺德数 Ba Ba = \frac{\rho d^2 \lambda^{1/2} \gamma}{\mu} 固體塊的流動(如米粒或沙子)[3]
Bejan數
(熱力學)
Be Be = \frac {\dot S'_{gen, \Delta T}} {\dot S'_{gen, \Delta T}+ \dot S'_{gen, \Delta p}} 熱傳導不可逆性與由於熱傳導和流體阻力的總不可逆性之比[4]
Bejan數
(流體力學)
Be Be = \frac{\Delta P . L^2} {\mu \alpha} 沿著通道的壓力差[5]
賓漢數 Bm Bm = \frac{ \tau_yL }{ \mu V } 屈服應力與黏滯應力之比[2]
毕奥数 Bi Bi = \frac{h L_C}{\ k_b} 固體的表面傳導率與體積傳導率之比
布莱克数 BlB B = \frac{V \rho}{\mu ( 1-\epsilon) D} 流體穿過多孔介質時慣性相對黏滯力的重要性
博登斯坦数 Bo Bo = Re\cdot Sc = vL/\mathcal{D} 停留時間的分佈
邦德數 Bo Bo = \frac{\rho a L^2}{\gamma} 浮力推動的毛細作用[6]
布林克曼數 Br  Br = \frac {\mu U^2}{\kappa(T_w-T_0)} 從容器壁到黏性流體的熱傳導
Brownell-Katz數 毛細管數邦德數的組合
毛細管數 Ca 表面張力影響的流體流動
錢德拉塞卡數 \ Q  {Q}\ =\ \frac{{B_0}^2 d^2}{\mu_0 \rho \nu \lambda} 對流,用以表達洛伦兹力黏度之比
靜摩擦係數 \mu_s 物體間的靜摩擦
動摩擦係數 \mu_k 物體互相滑動時的摩擦
柯尔伯恩j因数 熱傳導的無量綱係數
庫朗數 \nu 雙曲型偏微分方程之解[7]
达姆科勒数 Da  Da = k \tau 反應時間與共振時間之比
阻尼比 \zeta  \zeta = \frac{c}{2 \sqrt{km}} 系統中阻尼的程度
達西阻力係數 C_ff 流體流動
狄恩数 D 彎曲管道中的流體
底波拉数 De 粘彈性流體的流動學
分貝 dB 兩個強度之比,通常用於聲音
阻力系數 C_d 流動阻力
Dukhin數 Du 異質系統中表面電導率與體積電導率之比
歐拉常數 e 數學
埃克特数 Ec 熱對流傳導
埃克曼数 Ek 地球物理學(黏質阻力)
彈性 E 經濟學,常用於量度供給和需求如何受價格變化的影響
厄特沃什数 Eo 判斷汽泡或液滴形狀
埃里克森数 Er 液晶流動特性
歐拉數 (物理學) Eu 流體動力學(壓力與慣性力之比)
過量溫度係數 Θr \Theta_r = \frac{T-T_e}{U_e^2/(2c_p)} 熱力學與流體動力學[8]
范宁摩擦系数 f 管道中的流體流動[9]
费根鲍姆常数 \alpha, \delta 混沌理論(週期倍增)[10]
精細結構常數 \alpha \alpha = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 hc} 量子電動力學
焦比 f 光學攝影
Foppl-von Karman數 薄壳失稳
傅里叶数 Fo 熱傳導
菲涅耳数 F 狹縫衍射[11]
福禄数 Fr Fr = \frac{V}{\sqrt{g\ell}} 和表面行為
增益 電子學(信號輸出與信號輸入之比)
速比 單車傳動[12]
伽利莱数 Ga 引力造成的黏質流動
黃金分割比 \varphi 數學美學
格雷茨数 Gz 熱流
格拉斯霍夫数 Gr 自由對流
重力耦合常數 \alpha_G \alpha_G=\frac{Gm_e^2}{\hbar c} 重力
八田數 Ha 化學反應造成的吸附增強
哈根數 Hg 強制對流
水力梯度 i 地下水流動
雅各布数 Ja Ja = \frac{c_p (T_s - T_{sat}) }{h_{fg} } 液汽相变時所吸收的顯能與潛能之比[13]
Karlovitz數 湍流燃烧
Kc數 K_C 震盪流場中物體的阻力慣性之比
克努森数 Kn 分子平均自由程長度與某代表性長度之比
尿素清除指數 Kt/V 醫學
Kutateladze數 K 兩相逆流
拉普拉斯数 La 混溶流體中的自由對流
路易斯数 Le 質量擴散率與熱擴散率之比
升力係數 C_L 在某攻角翼型升力
Lockhart-Martinelli參數 \chi 濕氣的流動 [14]
乐甫数 地球的硬性
伦德奎斯特数 S ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma
马赫数 M \ M = \frac {{V}}{{a}} 氣體動力學
磁雷诺数 R_m 磁流体力学
曼宁糙率系数 n 開放管道流體流動(由引力推動)[15]
马兰戈尼数 Mg 由熱表面張力偏差引起的马兰戈尼流
莫顿数 Mo 判斷汽泡或液滴形狀
彭巴數 K_M 溶液冷凍時的熱傳導與擴散[16]
努塞尔特数 Nu Nu =\frac{hd}{k} 強制對流下的熱傳導
奥内佐格数 Oh 液體霧化,马兰戈尼流
佩克莱特数 Pe Pe = \frac{du\rho c_p}{k} = (Re)(Pr) 平流-擴散問題,總動量傳遞和分子熱傳遞之間的關係
剥离数 微觀結構與底物的黏附作用[17]
導流係數 K 在帶電離子束中空間電荷的強度
圓周率 \pi 數學(圓周長與直徑之比)
泊松比 \nu 彈性(橫向與縱向負荷)
多孔性 \phi 地質學
功率因數 電子學(有功功率与视在功率之比)
功率數 N_p 攪拌器的功率消耗
普兰特数 Pr Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{c_p \mu}{k} 黏性擴散率與熱擴散率之比
壓力係數 C_P 翼型上某個點的壓力
品質因子 Q 描述振子阻尼
弧度 \theta_{rad} \theta_{rad} =\frac{s}{r} 量度平面角,1 \text{ rad} = \frac {180^\circ} {\pi}
瑞利数 Ra 自由對流中的浮力和黏滯力
折射率 n 電磁學、光學
雷诺数 Re Re = \frac{vL\rho}{\mu} 流體的慣性力與黏滯力之比[2]
比重 RD 比重計,物質間的比較
理查逊数 Ri 浮力對流動穩定性的影響[18]
洛氏硬度 硬度
滚动阻力系数 Crr C_{rr} = \frac{N_f}{F} 車輛動力學
罗斯贝数 R_o 地球物理學中的慣性力
劳斯数 ZP 沈積物流移
施密特数 Sc 流體動力學(質量轉移與擴散[19]
形狀因數 H 边界层流動中排移厚度與動量厚度之比
舍伍德数 Sh 強制對流中的質量轉移
希尔兹參數 τθ 流體運動造成的沈積物流移的臨界
索默菲德数 邊層潤滑[20]
斯坦顿数 St 強制對流中的熱傳遞
斯蒂芬数 Ste Ste = \frac{C_p\Delta T}{L} 相變時的熱傳遞
斯托克斯数 StkS_k Stk = \frac{\tau\,U_o}{d_c} 流體流中的粒子動力學
應變 \epsilon \epsilon = \cfrac{\partial{F}}{\partial{X}} - 1 材料科学彈性
斯特劳哈尔数 StSr St = {f L\over V} 持續並脈動的流體流動[21]
泰勒数 Ta  Ta = \frac{4\Omega^2 R^4}{\nu^2} 旋轉的流體流動
Ursell數 U U = \frac{H\, \lambda^2}{h^3} 在淺流體層上表面引力波的非線性度
Vadasz數 Va Va = \frac{\phi Pr}{Da} 在多孔介質中流體流動時,該數影響多孔性\phi、普兰特数以及達西阻力係數
范特霍夫因子 i  i = 1 + \alpha (n - 1) 化學定量分析KfKb
Wallis參數 J* \alpha = R \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2} 多相流體流動時的表現速
韦伯数 We We = \frac{\rho v^2 l}{\sigma} 表面極為彎曲的多相流體流動
魏森贝格数 Wi Wi = \dot{\gamma} \lambda 粘彈性流體流動[22]
沃默斯利数 \alpha \alpha = R \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2} 持續並脈動的流體流動[23]

無量綱的物理常數[编辑]

一些基本物理常數,如真空中的光速萬有引力常數普朗克常數波兹曼常数等等,在適當挑選時間長度質量電荷溫度等單位後,可以歸一(數值為1)。這種單位制被稱為自然單位制。不過不可能在每一個單位制中都把所有的物理常數歸一,剩餘的量必須以實驗判定。這些剩餘的量包括:

參見[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ 1.8 (1.6) quantity of dimension one dimensionless quantity. International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM). ISO. 2008 [2011-03-22]. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Table of Dimensionless Numbers (PDF). [2009-11-05]. 
  3. ^ Bagnold number
  4. ^ Paoletti S., Rispoli F., Sciubba E. Calculation of exergetic losses in compact heat exchanger passager. ASME AES. 1989, 10 (2): 21–9. 
  5. ^ Bhattacharjee S., Grosshandler W.L. The formation of wall jet near a high temperature wall under microgravity environment. ASME MTD. 1988, 96: 711–6. 
  6. ^ Bond number
  7. ^ Courant–Friedrich–Levy number
  8. ^ Schetz, Joseph A. Boundary Layer Analysis. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. 1993: 132–134. ISBN 0-13-086885-X. 
  9. ^ Fanning friction factor
  10. ^ Feigenbaum constants
  11. ^ Fresnel number
  12. ^ Gain Ratio - Sheldon Brown
  13. ^ Incropera, Frank P. Fundamentals of heat and mass transfer. John Wiley & Sons, Inc. 2007: 376. 
  14. ^ Lockhart–Martinelli parameter
  15. ^ Manning coefficientPDF (109 KB)
  16. ^ Katz J. I. When hot water freezes before cold. Am. J. Phys. 2009, 77: 27–29. arXiv:physics/0604224. Bibcode:2009AmJPh..77...27K. doi:10.1119/1.2996187.  [1] Mpemba number
  17. ^ Peel number
  18. ^ Richardson number
  19. ^ Schmidt number
  20. ^ Sommerfeld number
  21. ^ Strouhal number
  22. ^ Weissenberg number
  23. ^ Womersley number

外部鏈接[编辑]