无量纲量

在量綱分析中，無量綱量，或称无因次量、无维量、无维度量、无维数量、无次元量等，指的是沒有量綱的量。它是個單純的數字，量綱為1。^[1]無量綱量在數學、物理學、工程學、經濟學以及日常生活中（如數數）被廣泛使用。一些廣為人知的無量綱量包括圓周率（π）、歐拉常數（e）和黃金分割率（φ）等。與之相對的是有量綱量，擁有諸如長度、面積、時間等單位。

無量綱量常寫作兩個有量綱量之積或比，但其最終的綱量互相消除後會得出無量綱量。比如，應變是量度形變的量，定義為長度差與原先長度之比。但由於兩者的量綱均為L（長度），因此相除後得出的量是沒有量綱的。

屬性 [编辑]

雖然無量綱量本身沒有量綱，但是它也有時被加以無量綱的單位。在分子和分母使用同樣的單位（kg/kg或mol/mol），有時可以幫助表達所測量的數值（如質量百分濃度或摩爾份數等）。某些量還可以表示為不同的單位之比，但這兩個單位的量綱相同（如光年除以米）。這種做法可以用於計算圖表中的斜率，或者進行單位轉換。這樣的寫法並不意味著存在量綱，而只不過是符號表達上的慣例。其他常用的無量綱量有：%（=0.01，百分率）、‰（=0.001，千分率）、ppm（=10⁻⁶，百萬分率）、ppb（=10⁻⁹，十億分率）、ppt（=10⁻¹²，兆分率）以及角度單位（度、弧度、梯度）等等。

兩個具有相同量綱之比是沒有量綱的，而且無論用甚麼單位計算，該量還是不變的。例如，如果物體A對物體B施大小為F的作用力，那B也會向A施大小為f的力。兩個力的比率F/f永遠等於1（見牛頓第三定律），而不取決於測量F和f所用的單位。這是因為物理中一個重要的假設：物理定律是獨立於人們選用的單位制的。如果以上的F/f不經常等於1，而在我們從國際單位制轉用厘米-克-秒制時改變了的話，這就意味著牛頓第三定律的真偽要看我們選取哪一種單位制，而這就與假設矛盾了。這一假設是白金漢π定理的基礎，其表述為：所有物理定律均能以數個無量綱量的數學組合（加、減、乘、除等等）寫成恆等式。如果無量綱量組合後的值在替換所用單位制後改變了的話，那麼白金漢π定理就不成立了。

白金漢π定理 [编辑]

白金漢π定理的另一項推論為，如果n個變數之間有某種函數關係，而這些變數中有k個獨立的量綱，則可以產生p = n − k個獨立的無量綱量。

例子 [编辑]

某磁力攪拌器的電功率是被攪拌液體的密度和黏度、攪拌器的直徑及攪拌速度的函數。因此這裡共有n = 5個變量

這n = 5個變量共由以下k = 3個量綱組成：

長度：L (m)
時間：T (s)
質量：M (kg)

根據該定理，通過組合這n = 5個變量，可以得出p = n − k = 5 − 3 = 2個獨立的無量綱量。此例中的這兩個無量綱量分別為：

雷諾數（描述流體流動的無量綱量）
功率數（描述攪拌器，同時包含流體密度的無量綱量）

例子 [编辑]

在10個蘋果中，有1個是壞了的。總蘋果數中壞蘋果的比例為1個蘋果/10個蘋果= 0.1 = 10%，這是個無量綱量。
角：角度的定義為，以圓心為頂點劃出的弧的長度除以某另一長度。這個比率由長度除以長度所得，因此是個無量綱量。當所用的（無量綱）單位為弧度時，那個「另一長度」就是圓的半徑。當單位為角度時，「另一長度」就是圓周長的360分之1。
圓周率是個無量綱量，定義為圓周長與直徑之比。該數值無論在用甚麼單位量度這些長度時（釐米、英里、光年等等）都會是相同的，只要周長和直徑以同樣的單位量度。

無量綱量列表 [编辑]

下表中所有的量均為無量綱量：

名稱	標準符號	定義	應用範疇
阿贝数	V	$V = \frac{ n_d - 1 }{ n_F - n_C }$	光學（光的色散）
活度系數	γ	$\gamma= \frac {{a}}{{x}}$	化學（活躍分子或原子佔總數之比）
反照率	$\alpha$	${\alpha}= (1-D) \bar \alpha(\theta_i) + D \bar{ \bar \alpha}$	氣候學、天文學
阿基米德數	Ar	$Ar = \frac{g L^3 \rho_\ell (\rho - \rho_\ell)}{\mu^2}$	密度差造成的流體運動
阿倫尼烏斯數	$\alpha$		活化能與熱能之比^[2]
相對原子質量	M		化學
伯格诺德数	Ba	$Ba = \frac{\rho d^2 \lambda^{1/2} \gamma}{\mu}$	固體塊的流動（如米粒或沙子）^[3]
Bejan數（熱力學）	Be	$Be = \frac {\dot S'_{gen, \Delta T}} {\dot S'_{gen, \Delta T}+ \dot S'_{gen, \Delta p}}$	熱傳導不可逆性與由於熱傳導和流體阻力的總不可逆性之比^[4]
Bejan數（流體力學）	Be	$Be = \frac{\Delta P . L^2} {\mu \alpha}$	沿著通道的壓力差^[5]
賓漢數	Bm	$Bm = \frac{ \tau_yL }{ \mu V }$	屈服應力與黏滯應力之比^[2]
毕奥数	Bi	$Bi = \frac{h L_C}{\ k_b}$	固體的表面傳導率與體積傳導率之比
布莱克数	Bl or B	$B = \frac{V \rho}{\mu ( 1-\epsilon) D}$	流體穿過多孔介質時慣性相對黏滯力的重要性
博登斯坦数	Bo	$Bo = Re\cdot Sc = vL/\mathcal{D}$	停留時間的分佈
邦德數	Bo	$Bo = \frac{\rho a L^2}{\gamma}$	由浮力推動的毛細作用^[6]
布林克曼數	Br	$Br = \frac {\mu U^2}{\kappa(T_w-T_0)}$	從容器壁到黏性流體的熱傳導
Brownell-Katz數			毛細管數和邦德數的組合
毛細管數	Ca		受表面張力影響的流體流動
錢德拉塞卡數	$\ Q$	${Q}\ =\ \frac{{B_0}^2 d^2}{\mu_0 \rho \nu \lambda}$	磁對流，用以表達洛伦兹力與黏度之比
靜摩擦係數	$\mu_s$		物體間的靜摩擦
動摩擦係數	$\mu_k$		物體互相滑動時的摩擦
柯尔伯恩j因数			熱傳導的無量綱係數
庫朗數	$\nu$		雙曲型偏微分方程之解^[7]
达姆科勒数	Da	$Da = k \tau$	反應時間與共振時間之比
阻尼比	$\zeta$	$\zeta = \frac{c}{2 \sqrt{km}}$	系統中阻尼的程度
達西阻力係數	$C_f$ or $f$		流體流動
狄恩数	D		彎曲管道中的流體渦
底波拉数	De		粘彈性流體的流動學
分貝	dB		兩個強度之比，通常用於聲音
阻力系數	$C_d$		流動阻力
Dukhin數	Du		異質系統中表面電導率與體積電導率之比
歐拉常數	e		數學
埃克特数	Ec		熱對流傳導
埃克曼数	Ek		地球物理學（黏質阻力）
彈性	E		經濟學，常用於量度供給和需求如何受價格變化的影響
厄特沃什数	Eo		判斷汽泡或液滴形狀
埃里克森数	Er		液晶流動特性
歐拉數 (物理學)	Eu		流體動力學（壓力與慣性力之比）
過量溫度係數	Θ_r	$\Theta_r = \frac{T-T_e}{U_e^2/(2c_p)}$	熱力學與流體動力學^[8]
范宁摩擦系数	f		管道中的流體流動^[9]
费根鲍姆常数	$\alpha, \delta$		混沌理論（週期倍增）^[10]
精細結構常數	$\alpha$	$\alpha = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 hc}$	量子電動力學
焦比	$f$		光學、攝影
Foppl-von Karman數			薄壳失稳
傅里叶数	Fo		熱傳導
菲涅耳数	F		狹縫衍射^[11]
福禄数	Fr	$Fr = \frac{V}{\sqrt{g\ell}}$	波和表面行為
增益			電子學（信號輸出與信號輸入之比）
速比			單車傳動^[12]
伽利莱数	Ga		引力造成的黏質流動
黃金分割比	$\varphi$		數學、美學
格雷茨数	Gz		熱流
格拉斯霍夫数	Gr		自由對流
重力耦合常數	$\alpha_G$	$\alpha_G=\frac{Gm_e^2}{\hbar c}$	重力
八田數	Ha		化學反應造成的吸附增強
哈根數	Hg		強制對流
水力梯度	i		地下水流動
雅各布数	Ja	$Ja = \frac{c_p (T_s - T_{sat}) }{h_{fg} }$	液汽相变時所吸收的顯能與潛能之比^[13]
Karlovitz數			湍流燃烧
Kc數	$K_C$		震盪流場中物體的阻力與慣性之比
克努森数	Kn		分子平均自由程長度與某代表性長度之比
尿素清除指數	Kt/V		醫學
Kutateladze數	K		兩相逆流
拉普拉斯数	La		混溶流體中的自由對流
路易斯数	Le		質量擴散率與熱擴散率之比
升力係數	$C_L$		在某攻角下翼型的升力
Lockhart-Martinelli參數	$\chi$		濕氣的流動 ^[14]
乐甫数			地球的硬性
伦德奎斯特数	$S$		ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma
马赫数	M	$\ M = \frac {{V}}{{a}}$	氣體動力學
磁雷诺数	$R_m$		磁流体力学
曼宁糙率系数	n		開放管道流體流動（由引力推動）^[15]
马兰戈尼数	Mg		由熱表面張力偏差引起的马兰戈尼流
莫顿数	Mo		判斷汽泡或液滴形狀
彭巴數	$K_M$		溶液冷凍時的熱傳導與擴散^[16]
努塞尔特数	Nu	$Nu =\frac{hd}{k}$	強制對流下的熱傳導
奥内佐格数	Oh		液體霧化，马兰戈尼流
佩克莱特数	Pe	$Pe = \frac{du\rho c_p}{k} = (Re)(Pr)$	平流-擴散問題，總動量傳遞和分子熱傳遞之間的關係
剥离数			微觀結構與底物的黏附作用^[17]
導流係數	K		在帶電離子束中空間電荷的強度
圓周率	$\pi$		數學（圓周長與直徑之比）
泊松比	$\nu$		彈性（橫向與縱向負荷）
多孔性	$\phi$		地質學
功率因數			電子學（有功功率与视在功率之比）
功率數	$N_p$		攪拌器的功率消耗
普兰特数	Pr	$Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{c_p \mu}{k}$	黏性擴散率與熱擴散率之比
壓力係數	$C_P$		翼型上某個點的壓力
品質因子	$Q$		描述振子的阻尼
弧度	rad	弧長/半徑</math>	量度平面角，1 rad = 180/π 度
瑞利数	Ra		自由對流中的浮力和黏滯力
折射率	n		電磁學、光學
雷诺数	Re	$Re = \frac{vL\rho}{\mu}$	流體的慣性力與黏滯力之比^[2]
比重	RD		比重計，物質間的比較
理查逊数	Ri		浮力對流動穩定性的影響^[18]
洛氏硬度			硬度
滚动阻力系数	C_rr	$C_{rr} = \frac{N_f}{F}$	車輛動力學
罗斯贝数	$R_o$		地球物理學中的慣性力
劳斯数	Z or P		沈積物流移
施密特数	Sc		流體動力學（質量轉移與擴散）^[19]
形狀因數	H		边界层流動中排移厚度與動量厚度之比
舍伍德数	Sh		強制對流中的質量轉移
希尔兹參數	τ_∗ or θ		流體運動造成的沈積物流移的臨界
索默菲德数			邊層潤滑^[20]
斯坦顿数	St		強制對流中的熱傳遞
斯蒂芬数	Ste	$Ste = \frac{C_p\Delta T}{L}$	相變時的熱傳遞
斯托克斯数	Stk or $S_k$	$Stk = \frac{\tau\,U_o}{d_c}$	流體流中的粒子動力學
應變	$\epsilon$	$\epsilon = \cfrac{\partial{F}}{\partial{X}} - 1$	材料科学、彈性
斯特劳哈尔数	St or Sr	$St = {f L\over V}$	持續並脈動的流體流動^[21]
泰勒数	Ta	$Ta = \frac{4\Omega^2 R^4}{\nu^2}$	旋轉的流體流動
Ursell數	U	$U = \frac{H\, \lambda^2}{h^3}$	在淺流體層上表面引力波的非線性度
Vadasz數	Va	$Va = \frac{\phi Pr}{Da}$	在多孔介質中流體流動時，該數影響多孔性 $\phi$ 、普兰特数以及達西阻力係數
范特霍夫因数	i	$i = 1 + \alpha (n - 1)$	化學定量分析（K_f及K_b）
Wallis參數	J^*	$\alpha = R \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2}$	多相流體流動時的表現速
韦伯数	We	$We = \frac{\rho v^2 l}{\sigma}$	表面極為彎曲的多相流體流動
魏森贝格数	Wi	$Wi = \dot{\gamma} \lambda$	粘彈性流體流動^[22]
沃默斯利数	$\alpha$	$\alpha = R \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2}$	持續並脈動的流體流動^[23]

無量綱的物理常數 [编辑]

一些基本物理常數，如真空中的光速、萬有引力常數、普朗克常數和波兹曼常数等等，在適當挑選時間、長度、質量、電荷及溫度等單位後，可以歸一（數值為1）。這種單位制被稱為自然單位制。不過不可能在每一個單位制中都把所有的物理常數歸一，剩餘的量必須以實驗判定。這些剩餘的量包括：

a：精細結構常數，電磁交互作用的耦合常数，α ≈ 1/137；
μ或β：質子與電子的不變質量之比，可更廣義地指所有基本粒子相對電子的不變質量之比，μ ≈ 1836；
α_s：強相互作用的耦合常數；
α_G：重力的耦合常數，α_G ≈ 1.75×10⁻⁴⁵。

參見 [编辑]

參考資料 [编辑]

^ 1.8 (1.6) quantity of dimension one dimensionless quantity. International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM). ISO. 2008 [2011-03-22].
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Table of Dimensionless Numbers (PDF). [2009-11-05].
^ Bagnold number
^ Paoletti S., Rispoli F., Sciubba E. Calculation of exergetic losses in compact heat exchanger passager. ASME AES. 1989, 10 (2): 21–9.
^ Bhattacharjee S., Grosshandler W.L. The formation of wall jet near a high temperature wall under microgravity environment. ASME MTD. 1988, 96: 711–6.
^ Bond number
^ Courant–Friedrich–Levy number
^ Schetz, Joseph A. Boundary Layer Analysis. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. 1993: 132–134. ISBN 0-13-086885-X.
^ Fanning friction factor
^ Feigenbaum constants
^ Fresnel number
^ Gain Ratio - Sheldon Brown
^ Incropera, Frank P. Fundamentals of heat and mass transfer. John Wiley & Sons, Inc. 2007. 376.
^ Lockhart–Martinelli parameter
^ Manning coefficientPDF (109 KB)
^ Katz J. I. When hot water freezes before cold. Am. J. Phys. 2009, 77: 27–29. arXiv:physics/0604224. Bibcode:2009AmJPh..77...27K. doi:10.1119/1.2996187. [1] Mpemba number
^ Peel number
^ Richardson number
^ Schmidt number
^ Sommerfeld number
^ Strouhal number
^ Weissenberg number
^ Womersley number

外部鏈接 [编辑]

John Baez, "How Many Fundamental Constants Are There?"
Huba, J. D., 2007, NRL Plasma Formulary: Dimensionless Numbers of Fluid Mechanics. Naval Research Laboratory. p. 23, 24, 25
Sheppard, Mike, 2007, "Systematic Search for Expressions of Dimensionless Constants using the NIST database of Physical Constants."

[1] 1.8 (1.6) quantity of dimension one dimensionless quantity. International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM). ISO. 2008 [2011-03-22].

[berkley-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Table of Dimensionless Numbers (PDF). [2009-11-05].

[3] Bagnold number

[4] Paoletti S., Rispoli F., Sciubba E. Calculation of exergetic losses in compact heat exchanger passager. ASME AES. 1989, 10 (2): 21–9.

[5] Bhattacharjee S., Grosshandler W.L. The formation of wall jet near a high temperature wall under microgravity environment. ASME MTD. 1988, 96: 711–6.

[6] Bond number

[7] Courant–Friedrich–Levy number

[8] Schetz, Joseph A. Boundary Layer Analysis. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. 1993: 132–134. ISBN 0-13-086885-X.

[9] Fanning friction factor

[10] Feigenbaum constants

[11] Fresnel number

[12] Gain Ratio - Sheldon Brown

[13] Incropera, Frank P. Fundamentals of heat and mass transfer. John Wiley & Sons, Inc. 2007. 376.

[14] Lockhart–Martinelli parameter

[15] Manning coefficientPDF (109 KB)

[16] Katz J. I. When hot water freezes before cold. Am. J. Phys. 2009, 77: 27–29. arXiv:physics/0604224. Bibcode:2009AmJPh..77...27K. doi:10.1119/1.2996187. [1] Mpemba number

[17] Peel number

[18] Richardson number

[19] Schmidt number

[20] Sommerfeld number

[21] Strouhal number

[22] Weissenberg number

[23] Womersley number

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

无量纲量

目录

屬性 [编辑]

白金漢π定理 [编辑]

例子 [编辑]

例子 [编辑]

無量綱量列表 [编辑]

無量綱的物理常數 [编辑]

參見 [编辑]

參考資料 [编辑]

外部鏈接 [编辑]

导航菜单

个人工具

名字空间

不转换

变换

查看

操作

搜索

导航

帮助

工具

其他语言