时不变系统

非時變系統是输出不會直接隨著时间变化的系统。

如果输入信号 $x(t)$ 产生输出 $y(t)$ ，那么对于任意时间延遲的输入 $x(t + \delta)$ 将得到相同时间延遲的输出 $y(t + \delta)$。

如果系统的传递函数不是时间的函数，就可以满足这个特性。 这个特性也可以用示意图的术语进行描述

如果一个系统是时不变的，那么系统框图与任意延时时刻的框图都是可以互换的。

简单例子

为了表明如何确定系统是时不变系统，我们来看两个系统：

• 系统 A: $y(t) = t\, x(t)$
• 系统 B: $y(t) = 10\cdot x(t)$

由于系统 A 除了 $x(t)$ 与 $y(t)$ 之外还显式地依赖于 t 所以它是时变系统，而系统 B 没有显式地依赖于时间 t 所以它是时不变的。

正式例子

下面将给出系统 A 和 B 更加正式的证明。为了完成这个证明，我们需要使用第二个定义。

系统 A:

使用延时的信号作为输入 $x_d(t) = \,\!x(t + \delta)$

$y(t) = t\, x_d(t)$

$y_1(t) = t\, x_d(t) = t\, x(t + \delta)$

那么输出延时 $\delta$

$y(t) = t\, x_d(t)$

$y_2(t) = \,\!y(t + \delta) = (t + \delta) x(t + \delta)$

很显然 $y_1(t) \,\!\ne y_2(t)$，所以系统不是时不变系统。

系统 B:

以延时的信号作为输入 $x_d(t) = \,\!x(t + \delta)$

$y(t) = 10 \, x_d(t)$

$y_1(t) = 10 \,x_d(t) = 10 \,x(t + \delta)$

现在输出延时 $\,\!\delta$

$y(t) = 10 \,x_d(t)$

$y_2(t) = y(t + \delta) = 10 \,x(t + \delta)$

显然 $y_1(t) = \,\!y_2(t)$，所以系统是时不变的。尽管有其它方法可以证明这一点，但这是最容易的方法。

抽象例子

我们用 $\mathbb{T}_r$ 表示移位算子，其中 $r$ 是矢量变址组（index set）需要移位的数值，例如“前进 1 步”的系统

$x(t+1) = \,\!\delta(t+1) * x(t)$

可以用这个抽象表示

$\tilde{x}_1 = \mathbb{T}_1 \, \tilde{x}$

其中 $\tilde{x}$ 是

$\tilde{x} = x(t) \, \forall \, t \in \mathbb{R}$

以及产生系统移位输出

$\tilde{x}_1 = x(t + 1) \, \forall \, t \in \mathbb{R}$

所定义的函数，这样 $\mathbb{T}_1$ 就是输入矢量增加 1 的算子。

假设我们用算子 $\mathbb{H}$ 表示一个系统，如果系统与移位算子是可交换的，那么它就是时不变的，例如

$\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} = \mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \,\, \forall \, r$

如果系统方程是

$\tilde{y} = \mathbb{H} \, \tilde{x}$

并且如果我们可以将系统算子 $\mathbb{H}$ 首先对 $\tilde{x}$ 进行运算，然后再用移位算子 $\mathbb{T}_r$ 进行运算，或者首先用移位算子 $\mathbb{T}_r$，然后再用系统算子 $\mathbb{H}$ 进行运算，并且这两种方法的结果等价，那么系统就是时不变的。

首先用系统算子进行运算将得到

$\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{T}_r \, \tilde{y} = \tilde{y}_r$

首先用移位算子将得到

$\mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \, \tilde{x} = \mathbb{H} \, \tilde{x}_r$

如果系统是时不变的，那么

$\mathbb{H} \, \tilde{x}_r = \tilde{y}_r$

参见

• 有限脉冲响应
• 线性时不变系统理论
• en:Sheffer sequence
• 状态空间
• 系统分析
• 时变系统