时不变系统

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非時變系統是输出不會直接隨著时间变化的系统。

如果输入信号 x(t) 产生输出 y(t) ,那么对于任意时间延遲的输入 x(t + \delta) 将得到相同时间延遲的输出 y(t + \delta)

如果系统的传递函数不是时间的函数,就可以满足这个特性。 这个特性也可以用示意图的术语进行描述

如果一个系统是时不变的,那么系统框图与任意延时时刻的框图都是可以互换的。

简单例子[编辑]

为了表明如何确定系统是时不变系统,我们来看两个系统:

  • 系统 A: y(t) = t\, x(t)
  • 系统 B: y(t) = 10\cdot x(t)

由于系统 A 除了 x(t)y(t) 之外还显式地依赖于 t 所以它是时变系统,而系统 B 没有显式地依赖于时间 t 所以它是时不变的。

正式例子[编辑]

下面将给出系统 A 和 B 更加正式的证明。为了完成这个证明,我们需要使用第二个定义。

系统 A:

使用延时的信号作为输入 x_d(t) = \,\!x(t + \delta)
y(t) = t\, x_d(t)
y_1(t) = t\, x_d(t) = t\, x(t + \delta)
那么输出延时 \delta
y(t) = t\, x_d(t)
y_2(t) = \,\!y(t + \delta) = (t + \delta) x(t + \delta)
很显然 y_1(t) \,\!\ne y_2(t),所以系统不是时不变系统。

系统 B:

以延时的信号作为输入 x_d(t) = \,\!x(t + \delta)
y(t) = 10 \, x_d(t)
y_1(t) = 10 \,x_d(t) = 10 \,x(t + \delta)
现在输出延时 \,\!\delta
y(t) = 10 \,x_d(t)
y_2(t) = y(t + \delta) = 10 \,x(t + \delta)
显然 y_1(t) = \,\!y_2(t),所以系统是时不变的。尽管有其它方法可以证明这一点,但这是最容易的方法。

抽象例子[编辑]

我们用 \mathbb{T}_r 表示移位算子,其中 r 是矢量变址组index set)需要移位的数值,例如“前进 1 步”的系统

x(t+1) = \,\!\delta(t+1) * x(t)

可以用这个抽象表示

\tilde{x}_1 = \mathbb{T}_1 \, \tilde{x}

其中 \tilde{x}

\tilde{x} = x(t) \, \forall \, t \in \mathbb{R}

以及产生系统移位输出

\tilde{x}_1 = x(t + 1) \, \forall \, t \in \mathbb{R}

所定义的函数,这样 \mathbb{T}_1 就是输入矢量增加 1 的算子。

假设我们用算子 \mathbb{H} 表示一个系统,如果系统与移位算子是可交换的,那么它就是时不变的,例如

\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} = \mathbb{H} \, \mathbb{T}_r  \,\, \forall \, r

如果系统方程是

\tilde{y} = \mathbb{H} \, \tilde{x}

并且如果我们可以将系统算子 \mathbb{H} 首先对 \tilde{x} 进行运算,然后再用移位算子 \mathbb{T}_r 进行运算,或者首先用移位算子 \mathbb{T}_r,然后再用系统算子 \mathbb{H} 进行运算,并且这两种方法的结果等价,那么系统就是时不变的。

首先用系统算子进行运算将得到

\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{T}_r \, \tilde{y} = \tilde{y}_r

首先用移位算子将得到

\mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \, \tilde{x} = \mathbb{H} \, \tilde{x}_r

如果系统是时不变的,那么

\mathbb{H} \, \tilde{x}_r = \tilde{y}_r

参见[编辑]