易辛模型

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易辛模型(Ising model,(英语发音:/ˈsɪŋ/; 德语:[ˈiːzɪŋ]),是一個以物理學家恩斯特·易辛(Ernst Ising, 1900–1998)為名的數學模型,用於描述物質的鐵磁性。該模型中包含了可以用來描述單個原子磁矩的參數\sigma_i ,其值只能為+1或-1,分別代表自旋向上或向下,這些磁矩通常會按照某種規則排列,形成晶格,並且在模型中會引入特定交互作用的參數,使得相鄰的自旋互相影響。雖然該模型相對於物理現實是一個相當簡化的模型,但它卻和鐵磁性物質一樣會產生相變。事實上,一個二維的方晶格易辛模型是已知最簡單而會產生相變的物理系統。[1]

易辛模型最早是由物理學家威廉·冷次(Wilhelm Lenz, 1888-1957)在1920年發明的,他把該模型當成是一個給他學生恩斯特·易辛(Ernst Ising, 1900–1998)的問題。易辛在他一篇1924年的論文中求得了一維易辛模型的解析解,並且證明它不會產生相變。[2] 二維方晶格易辛模型相對於一維的難出許多,因此其解析的描述在一段時間之後才在1943年拉斯·昂薩格給出。一般來說,二維易辛模型的解析解可由傳遞矩陣法求得,不過也有幾個和量子場論有關的解法。對於大於三維的易辛模型目前還沒有找到解析解,但其近似解可由諸多方法求得,例如平均場論

定義[编辑]

令Λ為所有晶格點的集合,其中每個晶格點都有一個所有和它相鄰的晶格點的集合(在數學上稱之為)並使這些晶格點形成一個d維的晶格。對於每個晶格點 k ∈ Λ 都有一個離散變數 σk ,其中 σk  ∈ {+1, −1},代表一個晶格點的自旋。而所有變數的集合σ = (σk)k∈Λ則稱作 自旋組態

對於兩個相鄰的晶格點ij ∈ Λ ,我們可以引入一個交互作用參數Jij,此外,我們可以假設每個自旋j ∈ Λ都和外加的磁場 hj 作用。則整個系統的哈密頓量可寫成:

H(\sigma) = - \sum_{<i~j>} J_{ij} \sigma_i \sigma_j -\mu \sum_{j} h_j\sigma_j

其中 <ij> 代表晶格點 i 和晶格點 j 是相鄰的的晶格點。因此哈密頓量的第一項為對每一對相鄰晶格點的總和(每一對只算一次),代表所有自旋之間交互作用的能量,而第二項則是磁場和自旋交互作用的能量。µ是晶格點磁矩的值,值得注意的是,電子磁矩和他的自旋方向相反,所以哈密頓量的第二項應該要是正號比較合理,但在習慣上,還是會令第二項為負號。[3]

該系統的的組態機率 P(σ)為在熱平衡下某個特並自旋組態 σ 的機率,為波茲曼分布:

P_\beta(\sigma) ={e^{-\beta H(\sigma)} \over Z_\beta},

其中 β = (kBT)−1,而:

 Z_\beta = \sum_\sigma e^{-\beta H(\sigma)}

是該機率分布的歸一化常數,在統計力學中又稱做配分函數。對於有為自旋組態函數物理量 f(σ) ,其期望值可表示為:

 \langle f \rangle_\beta = \sum_\sigma f(\sigma) P_\beta(\sigma) \,

參數[编辑]

H(σ) 中兩項前的負號是約定俗成的。因為第一項為負號,因此參數 Jij 的正負號決定了該系統的性質,對於每一對 ij :

J_{ij} > 0 ,則該系統為鐵磁性
J_{ij} < 0 ,則該系統為反鐵磁性
J_{ij} = 0 表示自旋間無交互作用。

除此之外該系統為 非鐵磁性

在鐵磁性的易辛模型中,相鄰自旋同方向時能量較低,因此自旋會傾向於同向排列,反之,在鐵磁性的易辛模型中,的相鄰自旋反向的能量較低,因此自旋會頃向於反向排列。

H(σ) 中的第二項為負號,表示自旋頃向於和外加磁場同向,因此 h_j 的正負也決定自旋頃向排列的方向。對於所有的j ,如果:

h_j>0, 則晶格點 j 頃向於朝向正向。
h_j<0, 則晶格點 j 頃向於朝向負向。
h_j=0, 表示沒有外加力場作用在自旋上 。

簡化[编辑]

一個常見的簡化是假設是假設沒有外加的力場作用在易辛模型上,也就是說,對於所有的 j∈Λ,hj = 0 。利用這項簡化,其哈密頓量可以寫成:

H(\sigma) = - \sum_{<i~j>} J_{ij} \sigma_i \sigma_j.

此時易辛模型在反轉所有自旋之下是對稱的:一個外加的力場會壞這種對稱。

另一個常見的簡化是假設所有相鄰晶格點的交互作用都是相等的,因此可以設 Jij = J 對於所有相鄰的 i, j ∈Λ,而其哈密頓量可以寫: H(\sigma) = -J\sum_{<i~j>}\sigma_i \sigma_j.

一維易辛模型[编辑]

在一維易辛模型系統中,假設每個带有自旋的原子分布在一維的圓圈中,且原子仅和鄰居發生交互作用,交互作用均為J,能量可表示為

E = -J \sum _{i=1}^N  \sigma_i\sigma_{i+1}+H\sum _{i=1}^N \sigma_i

藉由統計力學配分函數可以計算再給定溫度下T (
\beta =1/ (k T)
)的每個原子的磁矩期望值為


M (H,T)=\frac{\sinh (\beta H )}{\sqrt{\sinh
   ^2(\beta H )+e^{-4\beta J  }}}
.

所以一維易辛模型並沒有居里温度、不會發生相變,即沒有自发磁化(spontaneous magnetization)的現象。


M (0,T)=0
.

延伸閱讀[编辑]

  • Kerson Huang, Introduction to Statistical Physics.
  • I. A. Stepanov. Exact Solutions of the One-Dimensional, Two-Dimensional, and Three-Dimensional Ising Models. - Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal. 2012. Vol. 6. No 3. 118 - 122. The paper is on the Journal's website with a free access.

註解[编辑]