映射度

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拓扑学中,两个同维数流形之间的连续映射度数degree)非正式地说是一个点被盖住的次数。一个映射的度数可用同调群,或(对光滑映射)正则值原像定义。它是卷绕数的一个推广。例如,考虑复平面上映射 zn,视为 S2 到自身的映射,具有度数 n,它将球面绕自身缠了 n 圈。

物理学中,连续映射的度数,比如从空间到有序参数集的一个映射,是拓扑量子数的一个例子。

从一个圆周到自身[编辑]

最简单也最重要的例子是从圆周到自身一个连续映射的度数(这称为卷绕数):

f\colon S^1\to S^1. \,

存在投影:

\mathbb R \to S^1= \mathbb R/ \mathbb Z \,, x\mapsto [x],

这里 [x] 是 x 1 等价类(即 x\sim y 当且仅当 x-y 是整数)。

如果

f : S^1 \to S^1 \,

连续则存在一个连续映射

F :\mathbb R\ to  \mathbb R,

称为 f\mathbb R提升,使得 f([z]) = [F(z)]。这样一个提升在差一个整数相加下惟一确定,且

\deg(f)= F(x + 1)-F(x). \,

注意到

F(x + 1)-F(x) \,

是一个整数且关于 x 也连续;实数线上局部常值函数一定是常数。从而此定义与 x 的选择无关。

流形之间[编辑]

代数拓扑[编辑]

XY 是一个闭连通定向 m-维流形。流形的定向性蕴含最高阶同调群同构于 Z。选取一个定向意味着选取最高阶同调群的一个生成元。

一个连续映射 f : XY 诱导从 Hm(X) 到 Hm(Y) 的同态 f*。设 [X] 是选定的 Hm(X) 的生成元,或言 X 基本类。则 f度数定义为f*([X])。换句话说,

f_*([X])=\deg(f)[Y] \, .

如果 y 属于 Yf-1(y) 是一个有限集合,f 的度数可以通过考虑 Xf-1(y) 每个点的 m-阶局部同调群计算出来。

微分拓扑[编辑]

微分拓扑的语言中,一个连续映射的度数可如下定义:如果 f 是一个连续映射,定义域是一个紧流形,设 pf 的一个正则值,考虑有限集合

f^{-1}(p)=\{x_1,x_2,..,x_n\} \,.

p 是一个正则值,在每个 xi 的一个邻域中映射 f 是局部微分同胚(这是一个覆盖映射)。微分同胚可以为保持定向或反定向。设 rxif 保持定向的个数,而 s 是反定向的个数。当 f 的定义域是连通的,数 r - sp 的选取无关,我们定义 f 的度数为 r - s。这个定义与上一节代数拓扑定义重合。

同样的定义对带边界的紧流形也成立,但此时 f 需将 X 的边界送到 Y 的边界。

我们也可以像上面一样类似定义模 2 度数 (deg2(f)),取 Z2 同调中的基本类即可。在此情形 deg2(f) 是 Z2 中一个元素,流形不要求可定向。与上类似,如果 np 原像的个数,则 deg2(f) 是 n 模 2。

微分形式的积分给出 (C-)奇异同调德拉姆上同调之间的一个配对:<[c], [ω]> = ∫cω,这里 [c] 是由圈 c 代表的同调类,ω 是代表一个德拉姆上同调类的一个闭形式。对定向 m-维流形之间的一个连续映射 f : XY,我们有

\langle f_* [c], [\omega] \rangle = \langle [c], f^*[\omega] \rangle,

这里 f*f* 分别是在链与形式上的诱导映射。因为 f*[X] = deg f · [Y],我们有

\deg f \int_Y \omega  = \int_X f^*\omega \,

对任意 Ym-形式 ω

性质[编辑]

从球面到自身度数为 2 的一个映射。

映射度是同伦不变量;而且从球面到自身的连续映射是完全同伦不变量,即两个映射 f,g:S^n\to S^n \, 同伦当且仅当 \deg(f) = \deg(g)

换句话说,度数是一个同构 [S^n,S^n]=\pi_n S^n \to \mathbf{Z}

相关条目[编辑]

参考文献[编辑]

  • Flanders, H. Differential forms with applications to the physical sciences. Dover. 1989. 
  • Hirsch, M. Differential topology. Springer-Verlag. 1976. ISBN 0-387-90148-5.