映射锥

映射锥示意图

在数学，特别是同伦论中，映射锥（mapping cone）是一个拓扑构造 $C_f$。它也称为同伦上纤维（homotopy cofiber），也记成 $Cf .$

定义

给定映射 $f\colon X \to Y$，映射锥 $C_f$ 定义为 $(X \times I) \sqcup Y$ 关于等价关系 $(x, 0) \sim (x',0)\,$, $(x,1) \sim f(x)\,$ 的商拓扑空间。这里 $I$ 表示带标准拓扑的单位区间 [0,1]。注意有些人（比如乔·彼得·梅）使用相反的约定，交换 0 与 1 的地位。

以圆周为例

如果 $X$ 是圆周 S¹，C_f 可以视为 Y 与圆盘 D² 的不交并将 D² 的边界上的点 x 与 Y 中的点 f(x) 等价起来得到的商空间。

比如考虑当 Y 是圆盘 D² 的情形，映射

f: S¹ → Y = D²

是 S¹ 作为 D² 边界的标准包含。则映射锥 C_f 同胚于把两个圆盘连接起来，拓扑上就是球面 S² 也是通常的带底圆锥面。

双映射柱

映射锥是双映射柱的特例。双映射柱是一个圆柱的一个底与空间 X₁ 通过映射

f₁: S¹ → X₁

黏贴，而另一个底与空间 X₂ 通过映射

f₂: S¹ → X₂.

黏贴。映射锥是双映射锥（也称为拓扑推出）的退化情形，其中一个空间是一个单点。

应用

CW-复形

CW-复形经常通过映射锥添加一个胞腔。

对基本群的影响

给定空间 X 与环路

$\alpha\colon S^1 \to X$

代表了 X 的基本群中的一个元素，我们可构造一个映射锥 C_α。其效果是使得环路 α 在 C_α 中可缩，从而 α 在 C_α 的基本群中的等价类是单位元素。

给一个有生成子与关系呈示的群，我们得到了一个具有那个基本群的 2-复形。

空间偶的同调

映射锥将空间偶的同调变成商空间的简约同调：

如果 E 是一个同调理论，$i\colon A \to X$ 是一个包含，则 $E_*(X,A) = E_*(X/A,*) = \tilde E_*(X/A)$，对映射锥使用切除定理可得到。

另见

• 映射锥 (同调代数)（Mapping cone）