普吕克坐标

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数学上,普吕克坐标是将射影三维空间中的每条线给予6个齐次坐标,也就是一个射影5维空间中的一点。普吕克坐标由尤利乌斯·普吕克于1844年给出。

定义[编辑]

令L为一直线,穿过点p(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})和点q(y_{0},y_{1},y_{2},y_{3})

定义p_{ij}\begin{pmatrix} x_{i} & x_{j}\\y_{i}& y_{j}\end{pmatrix}=x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}的行列式。

这蕴涵着p_{ii}=0p_{ij}=-p_{ji}.

考虑六元组(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})。不是所有6个都可以同时为0,因为如果是的话,所有\begin{pmatrix} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ y_0 & y_1 & y_2 & y_3 \end{pmatrix}2\times 2子矩阵都是零,则该矩阵最多秩为1,这个p及q为不同点的假设不符。

p和q的选取对于6元组的影响只是一个非零因子,如下所示:

考虑p'(x'_{0},x'_{1},x'_{2},x'_{3})q'(y'_{0},y'_{1},y'_{2},y'_{3})为L上不同点,其中x'_{i}=k_{1}x_{i}+l_{1} y_{i}y'_{i}=k_{2}x_{i}+l_{2} y_{i}。 p'和q'不同的假设归结为k_{1} l_{2}-k_{2}l_{1}\neq 0。 可以检验:\begin{pmatrix} x'_{i} & x'_{j}\\y'_{i}& y'_{j}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k_{1} & l_{1}\\k_{2}& l_{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{i} & x_{j}\\y_{i}& y_{j}\end{pmatrix} 这样,(p'_{01},p'_{02},p'_{03},p'_{23},p'_{31},p'_{12})=(k_{1}l_{2}-k_{2}l_{1})(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})

称W为所有PG(3,K)中的直线的集合。我们现在恰当地定义一个映射\alpha:从W到一个K上的5维摄影空间: \alpha : W\rightarrow PG(5,K):L\rightarrow L^{\alpha}=(p_{01},p_{02},p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})

到克莱因二次曲面的单射性和满射性[编辑]