普朗克單位制

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馬克斯·普朗克

普朗克單位制是一種計量單位制度,由德國物理學家馬克斯·普朗克最先提出,因此命名為普朗克單位制。這種單位制是自然單位制的一個實例,經過特別設計,使得某些基礎物理常數的值能夠簡化為1,這些基礎物理常數是

上述每一個常數都至少出現於一個基本物理理論:G\,\!廣義相對論牛頓萬有引力定律\hbar\,\!量子力學c\,\!狹義相對論\epsilon_0\,\!靜電學k_B\,\!統計力學熱力學。实际上,以上的五个常数在許多物理定律的代數表達式中多次出现,因此引入普朗克單位制可以将這些代數表達式简化,普朗克單位制也因此成为了理論物理學一個非常有用的工具。在統一理論方面的研究,特別如量子重力學中,普朗克單位制能夠給研究者一點大概的提示。

基本普朗克單位[编辑]

每一個單位制都有一組基本單位。(在國際單位制裏,長度的基本單位是公尺)在普朗克單位制裏,長度的基本單位是普朗克長度,時間的基本單位是普朗克時間,等等。這些單位都是由表 1 的五個基礎物理常數衍生的。表 2 展示出這些基本普朗克單位。


表 1 :基礎物理常數
常數 符號 因次 國際單位等值與不確定度[1]
真空光速 c\,\! \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}}\,\! 299 792 458 m s−1
萬有引力常數 G\,\! \frac{\mathrm{L}^3}{\mathrm{M}\mathrm{T}^2}\,\! 6.673 84(80) × 10−11 m3 kg−1 s−2
約化普朗克常數 \hbar\,\! \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{T}}\,\! 1.054 571 726(47) × 10−34 J s
庫侖常數  \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\! \frac{\mathrm{L}^3\mathrm{M}}{\mathrm{T}^2\mathrm{Q}^2}\,\! 8 987 551 787.368 1764 N m2 C−2
波茲曼常數 k_B\,\! \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{T}^2\Theta}\,\! 1.380 6488(13)× 10−23 J K−1

字鍵: \mathrm{L}\,\! = 長度\mathrm{T}\,\! = 時間\mathrm{M}\,\! = 質量\mathrm{Q}\,\! = 電荷\Theta\,\! = 溫度。因為定義的關係,光速與庫侖常數的數值是精確值,不存在误差。

表 2 :基本普朗克單位
單位名稱 因次 表達式 國際單位等值與不確定度[1]
普朗克長度 \mathrm{L}\,\! l_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}\,\! 1.616 199(97) × 10−35 m
普朗克質量 \mathrm{M}\,\! m_\text{P} = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}\,\! 2.176 51(13) × 10−8 kg
普朗克時間 \mathrm{T}\,\! t_\text{P} = \frac{l_\text{P}}{c}= \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}} \,\! 5.391 06(32) × 10−44 s
普朗克電荷 \mathrm{Q}\,\! q_\text{P} = \sqrt{\hbar c 4 \pi \epsilon_0} \,\! 1.875 545  956(41) × 10−18 C
普朗克溫度 \Theta\,\! T_\text{P} = \frac{m_\text{P} c^2}{k} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G k^2}}\,\! 1.416 833(85)× 1032 K

使用普朗克單位後,表 1 的五個基礎物理常數的數值都約化為1,因此表 2 的普朗克長度,普朗克質量,普朗克時間,普朗克電荷,與普朗克溫度這些計量也都約化為1。這可以無因次地表達為

因為 G = c = \hbar = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = k_B = 1\,\! ,所以 l_\text{P} = m_\text{P} = t_\text{P} = q_\text{P} = T_\text{P} = 1\,\!

衍生普朗克單位[编辑]

在任何單位系統裏,許多物理量的單位是由基本單位衍生的。表 3 展示了一些在理論物理研究裏常見的衍生普朗克單位。實際上,大多數普朗克單位不是太大,就是太小,並不適合於實驗或任何實際用途。

表 3 :衍生普朗克單位
單位名 因次 表達式 國際單位等值[1]
普朗克面積 \mathrm{L}^2\,\!  l_P^2 = \frac{\hbar G}{c^3}\,\! 2.61223 × 10-70 m2
普朗克動量 \frac{\mathrm{L}\mathrm{M}}{\mathrm{T}}\,\! m_P c = \frac{\hbar}{l_P} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}} \,\! 6.52485 kg m/s
普朗克能量 \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{T}^2}\,\! E_P = m_P c^2 = \frac{\hbar}{t_P} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}} \,\! 1.9561 × 109 J
普朗克力 \frac{\mathrm{L}\mathrm{M}}{\mathrm{T}^2}\,\! F_P = \frac{E_P}{l_P} = \frac{\hbar}{l_P t_P} = \frac{c^4}{G} \,\! 1.21027 × 1044 N
普朗克功率 \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{T}^3}\,\! P_P = \frac{E_P}{t_P} = \frac{\hbar}{t_P^2} = \frac{c^5}{G} \,\! 3.62831 × 1052 W
普朗克密度 \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{L}^3}\,\! \rho_P = \frac{m_P}{l_P^3} = \frac{\hbar t_P}{l_P^5} = \frac{c^5}{\hbar G^2} \,\! 5.15500 × 1096 kg/m3
普朗克角頻率 \frac{1}{\mathrm{T}}\,\! \omega_P = \frac{1}{t_P} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}} \,\! 1.85487 × 1043 s−1
普朗克壓力 \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{M}\mathrm{T}^2}\,\! p_P = \frac{F_P}{l_P^2} = \frac{\hbar}{l_P^3 t_P} =\frac{c^7}{\hbar G^2} \,\! 4.63309 × 10113 Pa
普朗克電流 \frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{T}}\,\! I_P = \frac{q_P}{t_P} = \sqrt{\frac{c^6 4 \pi \epsilon_0}{G}} \,\! 3.4789 × 1025 A
普朗克電壓 \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{Q}\mathrm{T}^2}\,\! V_P = \frac{E_P}{q_P} = \frac{\hbar}{t_P q_P} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \epsilon_0} } \,\! 1.04295 × 1027 V
普朗克阻抗 \frac{\mathrm{L}^2\mathrm{M}}{\mathrm{Q}^2\mathrm{T}}\,\! Z_P = \frac{V_P}{I_P} = \frac{\hbar}{q_P^2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi} \,\! 29.9792458 Ω

簡化物理方程式[编辑]

嚴格地說,不同因次的物理量,雖然它們的數值可能相等,仍舊不能用在相等式的兩邊。但是,在理論物理學裏,為了簡化運算,我們可以把這顧慮放在一邊。簡化的過程稱為無因次化。表 4 展示出普朗克單位怎樣通过無因次化使許多物理方程式變得更簡單。

表 4 :物理方程式與其無因次形式
通常形式 無因次的形式
萬有引力定律  F = - G \frac{m_1 m_2}{r^2} \,\!  F = - \frac{m_1 m_2}{r^2} \,\!
薛丁格方程式 
- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r},\, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r},\, t) \,\!
 = 
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r},\, t)
\,\!

- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r},\, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r},\, t) \,\!
 =
i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r},\, t)
\,\!
普朗克關係式 { E = \hbar \omega } \ \,\! { E = \omega } \ \,\!
狹義相對論質能方程式 { E = m c^2} \ \,\! { E = m } \ \,\!
廣義相對論愛因斯坦場方程式 { G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \ \,\! { G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \ \,\!
一個粒子的每個自由度熱能 { E = \frac{1}{2} k_B T } \ \,\! { E = \frac{1}{2} T } \ \,\!
庫侖定律  F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \,\!  F = \frac{q_1 q_2}{r^2} \,\!
麦克斯韦方程組 \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0}\rho\,\!

\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ \,\!
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,\!
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\!

\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho \ \,\!

\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \ \,\!
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\,\!
\nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\,\!

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]


外部連結[编辑]