曲率形式

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微分几何中,曲率形式curvature form)描述了主丛上的联络曲率。它可以看作是黎曼几何中的曲率张量的替代或是推广。

定义[编辑]

G 为一个李群,记 G李代数g。设 E\to B 为一个G-丛。令 \omega 表示 E 上一个埃雷斯曼联络(它是一个E上的 g-值 1-形式)。

那么曲率形式就是 E 上的 g-值 2-形式,定义为

\Omega=d\omega +{1\over 2}[\omega,\omega]=D\omega.

这里 d 表示标准外导数[*,*]李括号,而 D 表示外共变导数。或者说

\Omega(X,Y)=d\omega(X,Y) +[\omega(X),\omega(Y)].

向量丛上的曲率形式[编辑]

E\to B 是一个纤维丛,其结构群G,我们可以在相伴的主 G-丛上重复同样的定义。

E\to B 是一个向量丛则我们可以把 \omega 看作是 1-形式的矩阵,则上面的公式取如下形式:

\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega,

其中 \wedge楔积。更准确地讲,若 \omega^i_j\Omega^i_j 分别代表 \omega\Omega 的分量(所以每个 \omega^i_j 是一个通常的 1-形式而每个 \Omega^i_j 是一个普通的2-形式),则

\Omega^i_j=d\omega^i_j +\sum_k \omega^i_k\wedge\omega^k_j.

例如,黎曼流形切丛,我们有 O(n) 作为结构群而 \Omega^{}_{} 是在 o(n) 中取值的 2-形式(给定标准正交基,可以视为反对称矩阵)。在这种情况,\Omega^{}_{}曲率张量的一种替换表述,也就是在曲率张量的标准表示中,我们有

R(X,Y)Z=\Omega^{}_{}(X\wedge Y)Z.

上式使用了黎曼曲率张量标准记号。

比安基恒等式[编辑]

如果 \theta 是标架丛上的典范向量值 1-形式,联络形式 ω 的挠率 \Theta 是由结构方程定义的向量值 2-形式:

\Theta=d\theta + \omega\wedge\theta = D\theta,

这里 D 代表外共变导数

第一比安基恒等式(对于标架丛的有挠率联络)取以下形式

D\Theta=\Omega\wedge\theta={1\over 2}[\Omega,\theta]\ ,

第二比安基恒等式对于一般有联络的丛成立,并有如下形式

D\Omega=0\ .

参看[编辑]

参考[编辑]

  • S.Kobayashi and K.Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", Chapters 2 and 3, Vol.I, Wiley-Interscience.