曲率形式

微分几何中，曲率形式（curvature form）描述了主丛上的联络的曲率。它可以看作是黎曼几何中的曲率张量的替代或是推广。

定义

令 G 为一个李群，记 G 的李代数为 $g$。设 $E\to B$ 为一个主 G-丛。令 $\omega$ 表示 E 上一个埃雷斯曼联络（它是一个E上的 g-值 1-形式）。

那么曲率形式就是 E 上的 g-值 2-形式，定义为

$\Omega=d\omega +{1\over 2}[\omega,\omega]=D\omega.$

这里 $d$ 表示标准外导数，$[*,*]$ 是李括号，而 D 表示外共变导数。或者说

$\Omega(X,Y)=d\omega(X,Y) +[\omega(X),\omega(Y)].$

向量丛上的曲率形式

若 $E\to B$ 是一个纤维丛，其结构群为 G，我们可以在相伴的主 G-丛上重复同样的定义。

若 $E\to B$ 是一个向量丛则我们可以把 $\omega$ 看作是 1-形式的矩阵，则上面的公式取如下形式：

$\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega,$

其中 $\wedge$ 是楔积。更准确地讲，若 $\omega^i_j$ 和 $\Omega^i_j$ 分别代表 $\omega$ 和 $\Omega$ 的分量（所以每个 $\omega^i_j$ 是一个通常的 1-形式而每个 $\Omega^i_j$ 是一个普通的2-形式），则

$\Omega^i_j=d\omega^i_j +\sum_k \omega^i_k\wedge\omega^k_j.$

例如，黎曼流形的切丛，我们有 $O(n)$ 作为结构群而 $\Omega^{}_{}$ 是在 $o(n)$ 中取值的 2-形式（给定标准正交基，可以视为反对称矩阵）。在这种情况，$\Omega^{}_{}$ 是曲率张量的一种替换表述，也就是在曲率张量的标准表示中，我们有

$R(X,Y)Z=\Omega^{}_{}(X\wedge Y)Z.$

上式使用了黎曼曲率张量标准记号。

比安基恒等式

如果 $\theta$ 是标架丛上的典范向量值 1-形式，联络形式 ω 的挠率 $\Theta$ 是由结构方程定义的向量值 2-形式：

$\Theta=d\theta + \omega\wedge\theta = D\theta,$

这里 D 代表外共变导数。

第一比安基恒等式（对于标架丛的有挠率联络）取以下形式

$D\Theta=\Omega\wedge\theta={1\over 2}[\Omega,\theta]\ ,$

第二比安基恒等式对于一般有联络的丛成立，并有如下形式

$D\Omega=0\ .$

参看

• 联络 (主丛)
• 陈-西蒙斯形式（Chern-Simons form）
• 黎曼流形的曲率
• 规范场论

参考

• S.Kobayashi and K.Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", Chapters 2 and 3, Vol.I, Wiley-Interscience.