曲线的微分几何

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曲线的微分几何几何学的一个分支,使用微分积分专门研究平面欧几里得空间中的光滑曲线

从古代开始,许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式:把曲线表示为参数形式,将它们的几何性质和各种量,比如曲率弧长,用向量分析表示为导数积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet 标架,是一个活动标架,在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。

曲线的理论比曲面理论及其高维推广的范围要狭窄得多,也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长(“自然参数”)参数化,从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息,所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上,这由微分几何不变量曲线的“曲率”和“挠率”来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。

定义[编辑]

n 是一个正整数,r 是正整数或 \inftyI 是实数非空区间,t 属于 I。一个C^r 类(即 \gammar连续可微向量值函数

\mathbf{\gamma}:I \to {\mathbb R}^n

称为一条 C^r 类参数曲线或曲线 \gamma 的一个 C^r 参数化,t 称为曲线 \gamma 的参数,\gamma(I) 称为曲线的。将曲线 \gamma 和曲线的像 \gamma(I) 区别开来非常重要,曲线是一个映射,而像是一个集合。一个给定的像可以描述为许多不同的 C^r 曲线。

可以想象参数 t 代表时间,而曲线 \gamma(t) 作为空间中一个运动粒子轨迹

如果 I 是闭区间 [a, b],我们称 γ(a) 为曲线 γ 的起点而 γ(b) 为终点

如果 \gamma(a)=\gamma(b),我们说 γ 是闭的或是一个环路。进一步,我们称 γ 是一条闭 Cr-曲线,如果 γ(k)(a) = γ(k)(b) 对所有 kr

如果 \gamma:(a,b)\to \mathbb{R}^n单射,我们称为简单曲线。

如果参数曲线 \gamma 局部可写成幂级数,我们称曲线解析或是 C^\omega 类。

记号 -\gamma 表示朝相反的方向运动的曲线。

一条 C^k-曲线

\gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n

称为 m 阶正则当且仅当对任何 t 属于I

\lbrace \gamma'(t), \gamma''(t), ...,\gamma^{(m)}(t) \rbrace \mbox {, } m \leq k

\mathbb{R}^n线性无关

特别地,一条 C^1-曲线 \gamma正则的如果

\gamma'(t) \neq 0 对任何 t \in I \,.

重新参数化与等价关系[编辑]

给定一条曲线的像我们可以定义曲线的许多不同的参数化。微分几何旨在描述在一定的参数化下不变的性质。所以我们需在所有参数曲线集合上定义一种合适的等价关系。曲线的微分几何性质(长度,Frenet 标架和广义曲率)在重新参数化下不变从而满足等价类性质。这个等价类称为 Cr 曲线,是曲线的微分几何研究的中心。

两个 Cr 参数曲线

 \mathbf{\gamma_1}:I_1 \to R^n

 \mathbf{\gamma_2}:I_2 \to R^n

称为等价,如果存在一个 Cr 双射

 \phi :I_1 \to I_2

使得

 \phi'(t) \neq 0 \qquad (t \in I_1)

 \mathbf{\gamma_2}(\phi(t)) = \mathbf{\gamma_1}(t) \qquad (t \in I_1)\,.

γ2 称为 γ1重新参数化。这种 γ1 的重新参数化在所有参数 Cr 曲线的集合上定义了一种等价关系,其等价类称为 Cr 曲线

定向 Cr 曲线,我们可以定义一种“加细”的等价关系,要求 φ 满足 φ'(t) > 0。

等价的 Cr 曲线有相同的像;等价的定向 Cr 曲线有相同的运动方向。

长度与自然参数化[编辑]

C1 曲线 γ : [a, b] → Rn 的长度 l 可以定义为

l = \int_a^b \vert \mathbf{\gamma}'(t) \vert dt.

曲线的长度在重参数化下保持不变,从而是曲线的一个微分几何性质。

对任何正则 Crr 至少为 1)曲线 γ: [a, b] → Rn 我们可以定义一个函数

s(t) = \int_{t_0}^t \vert \mathbf{\gamma}'(x) \vert dx.

写成

\overline{\mathbf{\gamma}(s)} = \gamma(t(s))

这里 t(s) 是 s(t) 的逆函数,我们得到 γ 的一个新参数化  \bar \gamma,称为自然弧长单位速度参数化;参数 s(t) 称为 γ 的自然参数

我们偏爱这个参数,因为自然参数 s(t) 以单位速度转动 γ 的像,所以

\vert \overline{\mathbf{\gamma}'(s(t))} \vert = 1 \qquad (t \in I).

在实际中常常很难计算出一条曲线的自然参数,但在理论讨论中很有用。

给定一条参数化曲线 γ(t) 的自然参数化是在差一个参数移动的意义下是惟一的。

数量

E(\gamma) = \frac{1}{2}\int_a^b \vert \mathbf{\gamma}'(t) \vert^2 dt

经常称为曲线的能量作用量;这个名称是有理由的,因为测地线方程是这个作用量的欧拉-拉格朗日运动方程。

Frenet 标架[编辑]

空间曲线一点的 Frenet 标架示意图。 T 是单位切向量,P 为单位法向量,B 是次法向量。

一个 Frenet 标架是一个移动的参考标架,由描述曲线在每一点 γ(t) 局部性质的n正交向量 ei(t) 组成。这是微分几何处理曲线的主要工具,因为在这个局部参考系中,远比使用欧几里得那样的整体坐标系更容易和自然地描述局部性质(如曲率、挠率)。

给定 Rn 中一条 n 阶正则 Cn+1-曲线 γ,曲线的 Frenet 标架是一组正交向量

\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)

称为 Frenet 向量。它们是通过对 γ(t) 的各阶导数使用格拉姆-施密特正交化算法得到的:

\mathbf{e}_1(t) = \frac{\mathbf{\gamma}'(t)}{\| \mathbf{\gamma}'(t) \|}

\mathbf{e}_{j}(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_{j}}(t)}{\|\overline{\mathbf{e}_{j}}(t) \|} 
\mbox{, } 
\overline{\mathbf{e}_{j}}(t) = \mathbf{\gamma}^{(j)}(t) - \sum _{i=1}^{j-1} \langle \mathbf{\gamma}^{(j)}(t), \mathbf{e}_i(t) \rangle \, \mathbf{e}_i(t)

实值函数 χi(t) 称为 广义曲率,定义为

\chi_i(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}^'(t) \|}

Frenet 标架和广义曲率在重新参数化下是不变的,故它们是曲线的微分几何性质。

特殊 Frenet 向量和广义曲率[编辑]

最初三个 Frenet 向量和广义曲率可以在三维空间中看到。它们有额外的名字以及与名称相关更多信息。

切向量[编辑]

如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡,那麼質點在給定點 P 的瞬時速度用一個向量表示,稱為曲線在 P切向量

數學表述為,給定一條曲線 γ = γ(t),對參數 t 的任何值: t = t0, 向量:

\gamma'(t_0) = \frac{d}{d\,t}\mathbf{\gamma}(t) , {t=t_0}

是點 P = γ(t0) 的切向量。一般說,切向量可以為零向量

切向量的長度:

\|\mathbf{\gamma}'(t_0)\|

是在時間 t0 的速率。


第一個 Frenet 向量 e1(t) 是在同一方向的單位切向量,在 γ 的每個正則點有定義:

\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ \mathbf{\gamma}'(t) }{ \| \mathbf{\gamma}'(t) \|}.

如果 t = s 是自然參數則切向量有單位長,從而公式化簡為:

\mathbf{e}_{1}(s) = \mathbf{\gamma}'(s).

單位切向量確定了曲線的定向,或隨著參數增長的前進方向。

法向量[编辑]

法向量,有时也称为曲率向量,表明曲线和一条直线的偏离程度。

法向量定义为

\overline{\mathbf{e}_2}(t) = \mathbf{\gamma}''(t) - \langle \mathbf{\gamma}''(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t).

其正规形式单位法向量,是 Frenet 向量 e2(t),定义为

\mathbf{e}_2(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(t)} {\| \overline{\mathbf{e}_2}(t) \|}.

t 点的切向量和法向量张成 t 点的密切平面

曲率[编辑]

第一个广义曲率 χ1(t) 称为曲率,度量了曲线 γ 偏离密切平面上一条直线的程度。定义为

\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}^'(t) \|}

称为 γ 在点 t曲率

曲率的倒数

\frac{1}{\kappa(t)}

称为曲率半径

半径为 r 的圆周有常曲率

\kappa(t) = \frac{1}{r}\,,

但一条直线的曲率是 0 。

次法向量[编辑]

次法向量是第三个 Frenet 向量 e3(t) , 总是正交于 t 点的单位切向量和单位法向量。其定义为

\mathbf{e}_3(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_3}(t)} {\| \overline{\mathbf{e}_3}(t) \|}
\quad
\overline{\mathbf{e}_3}(t) = \mathbf{\gamma}'''(t) - \langle \mathbf{\gamma}'''(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t)
- \langle \mathbf{\gamma}'''(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle \,\mathbf{e}_2(t)

在 3 维空间中等式简化为

\mathbf{e}_3(t) = \mathbf{e}_2(t) \times \mathbf{e}_1(t)\,.

挠率[编辑]

第二广义曲率 χ2(t) 称为挠率,度量了 γ 和一条平面曲线的偏离程度。或者说,如果挠率为 0 则曲线完全在某平面内(任何 t 都在这一个平面内)。

\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}'(t) \|}

称为 γ 在点 t挠率

曲线论主要定理[编辑]

给定 n 个函数

\chi_i \in C^{n-i}([a,b]) \mbox{, } 1 \leq i \leq n

满足

\chi_i(t) > 0 \mbox{, } 1 \leq i \leq n-1

那么存在惟一的(在差一个欧几里得群作用的意义下) n 阶正则 Cn+1-曲线 γ,具有如下性质

\|\gamma'(t)\| = 1  \mbox{ } (t \in [a,b])
\chi_i(t) = \frac{ \langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{\| \mathbf{\gamma}'(t) \|} \,,

这里集合

\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)

是曲面的 Frenet 标架。

再附加起始 t0I,起始点 p0Rn 以及一个初始正交标架 {e1, ..., en-1} 满足

\mathbf{\gamma}(t_0) = \mathbf{p}_0
\mathbf{e}_i(t_0) = \mathbf{e}_i \mbox{, } 1 \leq i \leq n-1

那么我们可以排除欧几里得作用得到惟一的曲线 γ。

Frenet-Serret 公式[编辑]

Frenet-Serret 公式是一组一阶常微分方程。其解为由广义曲率函数 χi 所刻画的曲线的 Frenet 向量组。

2-维[编辑]

 
\begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_1'(t)\\
 \mathbf{e}_2'(t) \\
\end{bmatrix} 

=

\begin{bmatrix}
          0 & \kappa(t) \\
 -\kappa(t) &        0  \\
\end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_1(t)\\
\mathbf{e}_2(t) \\
\end{bmatrix}

3-维[编辑]

 
\begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_1'(t) \\
 \mathbf{e}_2'(t) \\
 \mathbf{e}_3'(t) \\
\end{bmatrix} 

=

\begin{bmatrix}
          0 &  \kappa(t) &       0 \\
 -\kappa(t) &          0 & \tau(t) \\
          0 &   -\tau(t) &       0 \\
\end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_1(t) \\
 \mathbf{e}_2(t) \\
 \mathbf{e}_3(t) \\
\end{bmatrix}

n 维一般公式[编辑]

 
\begin{bmatrix}
  \mathbf{e}_1'(t)\\
           \vdots \\
 \mathbf{e}_n'(t) \\
\end{bmatrix} 

=

\begin{bmatrix}
          0 & \chi_1(t) &                &             0 \\
 -\chi_1(t) &    \ddots &         \ddots &               \\
            &    \ddots &              0 & \chi_{n-1}(t) \\
          0 &           & -\chi_{n-1}(t) &             0 \\
\end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_1(t) \\
          \vdots \\
 \mathbf{e}_n(t) \\
\end{bmatrix}

参考文献[编辑]

  • Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 9780484667218. Chapter II is is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.
  • 陈维桓,微分几何,北京大学出版社,北京,2006年,ISBN 7-301-10709/O.0696.

另见[编辑]