曲线的挠率

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在初等三维曲线的微分几何中,一条曲线挠率(或译扭率)度量了它扭曲的程度。将一个空间曲线的曲率挠率放在一块与一个平面曲线的曲率类似。例如,他们都是弗莱纳标架弗莱纳公式微分方程组中的系数。

定义[编辑]

C 是一条弧长(或“自然”)参数化空间曲线, t 为其单位切向量。如果在某一点 C曲率 \kappa 不等于 0,那么“主法向量”和“次法向量”是单位向量

 \mathbf{n}=\frac{\mathbf{t}'}{\kappa}, \quad \mathbf{b}=\mathbf{t}\times\mathbf{n}.

挠率 \tau 度量了次法向量在那一点旋转的速度。由方程

 \mathbf{b}' = -\tau\mathbf{n}.

得出。这意味着

 \tau = -\mathbf{n}\cdot\mathbf{b}'.

注:次法向量的导数垂直于次法向量和切向量,从而和主法向量成比例。符号是习惯记法,是这个学科历史发展的副产品。

挠率半径,经常记成 σ,定义为:

\sigma = \frac{1} {\tau} \; .

性质[编辑]

  • 曲率处处非 0 的平面曲线的挠率处处为 0;反过来,如果一条正则曲线的挠率处处为 0,那么这条曲线在一个平面上。
  • 螺旋曲线的挠率是常数;反之,任何空间曲线如果具有非 0 常曲率和常挠率,必然是螺旋曲线。挠率为正是右手螺旋,为负是左手螺旋。
    • 定倾曲线或称一般螺线(即切向量与一个固定方向交为定角的曲线)的挠率与曲率之比为常数;相反地,如果正则曲线的挠率与曲率之比为常数,那么曲线必是定倾曲线。

另一种描述[编辑]

r = r(t) 是空间曲线的参数方程。假设为正则参数化且曲线的曲率处处非 0,即解析条件:r(t) 是一个关于 t 取值于 R3的三次可微函数,且向量

 \mathbf{r'}(t), \mathbf{r''}(t)

线性无关

那么挠率可以由下面的公式表达出来:

\tau  = {{\det \left( {r',r'',r'''} \right)} \over {\left\| {r' \times r''} \right\|^2}} = {{\left( {r' \times r''} \right)\cdot r'''} \over {\left\| {r' \times r''} \right\|^2}}.

这里撇号表示对 t 求导数,× 号为向量的叉积。对 r = (x, y, z),上述公式的分量形式为

 \tau = \frac{x'''(y'z''-y''z') + y'''(x''z'-x'z'') + z'''(x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^2 + (x''z'-x'z'')^2 + (x'y''-x''y')^2} \;.

参考文献[编辑]

Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag,2001 ISBN 1-85233-152-6