曲线积分

在数学中，曲线积分或路徑積分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。

在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多简单的公式（比如说$W=\vec F\cdot\vec d$）在推广之后都是以曲线积分的形式出现（$W=\int_C \vec F\cdot d\vec s$）。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出现的概率。

向量分析

简单来说，向量分析中的曲线积分可以看成向量场在特定路径上的累积效果。

标量场的曲线积分

设有标量场：F : U ⊆ Rⁿ $\to$ R，则对于路径C ⊂ U，F的曲线积分是：

$\int_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.$

其中， r: [a, b] $\to$ C 是一个一一的参数方程，并且r(a) 和 r(b) 分别是路径曲线 C 的两个端点。

f 称为积分函数，C 是积分路径。不严格地说，ds可以被看作积分路径上的一段很小的“弧长”。曲线积分的结果不依赖于参量化函数 r。

向量场的曲线积分

向量场的曲线积分

设有向量场：F : U ⊆ Rⁿ $\to$ Rⁿ，则其在路径 C ⊂ U上关于方向 r的曲线积分是：

$\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.$

其中， r: [a, b] $\to$ C 是一个一一的参量化函数，并且r(a) 和 r(b) 分别是路径曲线 C 的两个端点。这时曲线积分值的绝对值与参量化函数r无关，但其方向与参量化函数r的选择有关。特别地，当方向相反时，积分值也相反。

与路径无关的条件

梯度場中的曲線積分

梯度場中的曲線積分

如果向量场 F 是一个标量场 G 的梯度，即：

$\nabla G = \mathbf{F},$

那么，由 G 和 r 组成的复合函数的导数是：

$\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)$

于是对路径C就有：

$\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).$

用文字表示，就是说若F 是一个梯度场，那么F 的曲线积分与所取的路径无关，而只与路径的起点和终点的选取有关。

应用

在各种保守力的场都是路径无关的，一个常见的例子就是重力场或电场。在计算这种场的做功时，可以选择适当的路径进行积分，使得计算变得简单。

曲线积分与复分析的关系

如果将复数看作二维的向量，那么二维向量场的曲线积分就是相应复函数的共轭函数在同样路径上的积分值的实部。

根据柯西-黎曼方程，一个全纯函数的共轭函数所对应的向量场的旋度是0。

复曲线积分

曲线积分是复分析中的基本工具。令U为复数集 C 中的一个开子集，$\gamma$ : [a, b]$\to$ U 是一个可求长曲线。设有函数：f : U $\to$ C ，则曲线积分：

$\int_\gamma f(z)\,dz$

可以定义为区间分划a = t₀ < t₁ < ... < t_n = b 后的和：

$\sum_{1 \le k \le n} f(\gamma(t_k)) ( \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) ).$

曲线积分是这个黎曼和的极限。

当$\gamma$为闭合曲线时，积分的起点和终点重合，这时的曲线积分通常记作

$\oint_\gamma f(z)\,dz$

复函数的曲线积分有很多技巧。将复函数分作实部和虚部，可以将问题简化为两个实值函数的曲线积分。其它情况下可以用柯西积分公式。如果积分路径是闭合的，并且积分函数在区域中是解析的且没有奇点，那么它的曲线积分是零，这是柯西积分定理的推论。根据留数定理，可以用复平面上的围道积分计算实质函数在实区间上的积分。

例子

考虑复函数f(z)=1/z，设积分路径 C 为单位圆（模长为1的复数的集合）。我们使用e^it来参量化路径，其中t从0到2$\pi$（ $t \in [0, 2\pi]$）。代入积分式就得到：

$\oint_C f(z)\,dz = \int_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,dt$

$=i\int_0^{2\pi}\,dt = i(2\pi-0)=2\pi i$

用柯西积分定理也可以得到结果。

量子力学

量子力学中的“曲线积分形式”和曲线积分并不相同，因为曲线积分形式中所用的积分是函数空间上的泛函积分，即关于空间中每个路径的概率函数进行积分。然而，曲线积分在量子力学中仍有重要作用，比如说复围道积分常常用来计算量子散射理论中的概率振幅。

外部链接

• A pictoral explanation of the path integral
• Solved problems on path integrals
• Contour Integrals Module by John H. Mathews