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曲线积分

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

数学中,曲线积分路徑積分积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间,而是特定的曲线,称为积分路径。曲线积分有很多种类,当积分路径为闭合曲线时,称为环路积分围道积分

在曲线积分中,被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重(一般是弧长,在积分函数是向量函数时,一般是函数值与曲线微元向量的标量积)后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多简单的公式(比如说W=F·s)在推广之后都是以曲线积分的形式出现(W=\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf s)。曲线积分在物理学中是很重要的工具,例如计算电场重力场中的做功,或量子力学中计算粒子出现的概率

向量分析[编辑]

定性地看,向量分析中的曲线积分可以看成在某一场中沿特定路径的累积效果。更具体地说,标量场的曲线积分可以理解为一个曲线向下切割出的面积,这可以通过建立曲线z = f(x,y)和x-y平面内的曲线C来相像。f的曲线积分就会是当曲面上的点投影在C上的时候“幕布”的面积。

标量场的曲线积分[编辑]

梯度場中的曲線積分

定义[编辑]

设有标量场F : URn \to R,则对于路径CUF的曲线积分是:

\int_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.

其中, r: [a, b] \to C 是一个一一参数方程,并且r(a) 和 r(b) 分别是路径曲线 C 的两个端点

f 称为积分函数C 是积分路径。不严格地说,ds可以被看作积分路径上的一段很小的“弧长”。曲线积分的结果不依赖于参量化函数 r

几何上,当标量场f定义在一个平面(n=2)上时,它的图像是空间中一个曲面z=f(x,y),曲线积分就是以曲线C为界的有符号的截面面积。参见动画演示。

推导[编辑]

对于标量场上的曲线积分

向量场的曲线积分[编辑]

向量场的曲线积分

设有向量场F : URn \to Rn,则其在路径 CU上关于方向 r的曲线积分是:

\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

其中, r: [a, b] \to C 是一个一一参量化函数,并且r(a) 和 r(b) 分别是路径曲线 C 的两个端点。这时曲线积分值的绝对值与参量化函数r无关,但其方向与参量化函数r的选择有关。特别地,当方向相反时,积分值也相反。

与路径无关的条件[编辑]

如果向量场 F 是一个标量场 G梯度,即:

\nabla G = \mathbf{F},

那么,由 Gr 组成的复合函数的导数是:

\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)

于是对路径C就有:

\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).

用文字表示,就是说若F 是一个梯度场,那么F 的曲线积分与所取的路径无关,而只与路径的起点和终点的选取有关。

应用[编辑]

在各种保守力的场都是路径无关的,一个常见的例子就是重力场或电场。在计算这种场的做功时,可以选择适当的路径进行积分,使得计算变得简单。

曲线积分与复分析的关系[编辑]

如果将复数看作二维的向量,那么二维向量场的曲线积分就是相应复函数的共轭函数在同样路径上的积分值的实部

根据柯西-黎曼方程,一个全纯函数的共轭函数所对应的向量场的旋度是0。

複曲线积分[编辑]

複分析中,曲线积分是通过复数的加法和乘法定义的。令U複数集 C 的一个开子集f : U \to C是一个函数,L\subset U是一个参数为\gamma : [a,b] \to L可求长曲线,其中\gamma(t)=x(t)+iy(t).。则曲线积分:

\int_L f(z)\,dz

可以通过将区间[a, b]分划为a = t0 < t1 < ... < tn = b来定义。考虑下式:

\sum_{k=1}^{n} f(\gamma(t_k)) [ \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) ]
=\sum_{k=1}^{n} f(\gamma_k) \Delta\gamma_k.

曲线积分是区间分划的长度趋于零时这个黎曼和极限

\gamma连续可微时,曲线积分可以用一个实变函数的积分表示:

\int_L f(z)\,dz
=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,dt.

L为闭合曲线时,积分的起点和终点重合,这时f沿L的曲线积分通常记作

\oint_L f(z)\,dz

对于共轭微分算子\overline{dz}的曲线积分定义为[1]

\int_L f \overline{dz} := \overline{\int_L \overline{f} dz} = \int_a^b f(\gamma(t))\,\overline{\gamma'(t)}\,dt.

複函数的曲线积分有很多技巧。将複函数分作实部和虚部,可以将问题简化为两个实值函数的曲线积分。其它情况下可以用柯西积分公式。如果积分路径是闭合的,并且积分函数在区域中是解析的且没有奇点,那么它的曲线积分是零,这是柯西积分定理的推论。根据留数定理,可以用复平面上的围道积分计算实质函数在实区间上的积分。

例子[编辑]

考虑复函数f(z)=1/z,设积分路径L单位圆(模长为1的复数的集合)。我们使用γ(t)=eit来将路径参数化,其中t在[0, 2π]内。代入积分式就得到:


\begin{align}
\oint_L f(z)\,dz & = \int_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,dt \\
& =i\int_0^{2\pi}\,dt = i(2\pi-0)=2\pi i.
\end{align}

柯西积分定理也可以得到结果。

量子力学[编辑]

量子力学中的“曲线积分形式”和曲线积分并不相同,因为曲线积分形式中所用的积分是函数空间上的泛函积分,即关于空间中每个路径的概率函数进行积分。然而,曲线积分在量子力学中仍有重要作用,比如说复围道积分常常用来计算量子散射理论中的概率振幅

参考文献[编辑]

  1. ^ Ahlfors, Lars. Complex Analysis 2nd edition. : 103. 

外部链接[编辑]