曲面积分

数学上，曲面积分（面积分）是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也即，返回数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也即，返回向量值的函数）积分。

面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的经典理论中。

面积分的定义依赖于将曲面细分成小的面积元。

单个面积元的图示。这些面积元通过极限过程成为无穷小的元素以逼近曲面。

标量场的面积分

考虑定义了标量场f的一个曲面S。如果把S当作某种材料制成，而对于每个点x，f(x)就是在该点的材料密度，则f在S上的面积分就是S的每单位厚度的质量。（这只当曲面是无穷薄的情况下成立。）计算面积分的一个办法是将曲面分成很多小片，假设每片的密度大致为常数，找到每片的每单位厚度质量，然后乘以小片的面积，最后加起来得到总的每单位厚度的质量。

要找到面积分的直接公式，首先需要参数化S，也即在S上建立曲线坐标系，就像球面上的经纬度。令参数化为x(s, t)，其中(s, t)在某个平面上的区域T中变化。则面积分为

$\iint_S f \,dS = \iint_T f(\mathbf{x}(s, t)) \left|\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\times \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right| ds\, dt$

其中右手边竖杠之间的表达式是x(s, t)的偏导数的叉积的量值。

例如，如果要找出某个函数（$z=f\,(x,y)$）形状的曲面面积，就有

$A = \iint_S \,dS = \iint_T \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}\right| dx\, dy$

其中$\mathbf{r}=(x, y, z)=(x, y, f(x,y))$。所以，$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}=(1, 0, f_x(x,y))$，且$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}=(0, 1, f_y(x,y))$。因此

$\begin{align} A &{} = \iint_T \left|\left(1, 0, \frac{\partial f}{\partial x}\right)\times \left(0, 1, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\right| dx\, dy \\ &{} = \iint_T \left|\left( - \frac{\partial f}{\partial x}, - \frac{\partial f}{\partial y}, 1\right)\right| dx\, dy \\ &{} = \iint_T \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}\, \, dx\, dy \end{align}$

这就是一般函数曲面的面积的常见公式。很容易认出第二行中的向量是曲面的法向量。

注意，因为叉积的存在，上述供述只在曲面嵌入在三维空间中时适用。

向量场的面积分

曲面上的向量场。

考虑S上的向量场v，对于每个S上的点x，v(x)是一个向量。想象一个穿过S的液体流，使得v(x)决定液体在x的速度。则流量定义为单位时间穿过S的液体量。

这个解释意味着如果向量场和S在每点相切，则流量为0，因为液体平行于S流动，从而不进不出。这也意味着如果v不仅仅沿着S流动，也即，如果v既有切向分量也有法向分量，则只有法向分量对流量作出贡献。基于这个推理，要找出流量，我们必须取v和S上每点的单位法向量的点积，这就给出了一个标量场，然后就可以用上述方式积分。公式如下

$\int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf {S}} = \int_S ({\mathbf v}\cdot {\mathbf n})\,dS=\iint_T {\mathbf v}(\mathbf{x}(s, t))\cdot \left({\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right) ds\, dt.$

右手边的叉积是由参数化所决定的法向量。

该公式定义为向量场v在S上的面积分。

微分2-形式的面积分

令

$f=f_{1} dx \wedge dy + f_{2} dy \wedge dz + f_{3} dz \wedge dx$

为定义在曲面S上的2阶微分形式，并令

$\mathbf{x} (s,t)=( x(s,t), y(s,t), z(s,t))\!$

为一保定向的在D上的参数化$(s,t)$。则f在S上的面积分为

$\iint_D \left[ f_{1} ( \mathbf{x} (s,t)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)} + f_{2} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)} + f_{3} ( \mathbf{x} (s,t))\frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)} \right]\, ds dt$

其中

${\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(s,t)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t))}\right)$

为S的法向量。

注意2-形式的面积分和以$f_1$、$f_2$和$f_3.$为分量的向量场的面积分相同。

涉及面积分的定理

面积分中很多有用的结果可以用微分几何和向量微积分导出，例如散度定理及其推广斯托克斯定理。

进阶问题

注意面积分的定义中用到曲面S的参数化。而给定曲面可以有多种参数化。例如，如果移动球面上南极和北极的位置，所有球面上的点的经度和纬度都会改变。很自然就有面积分是否依赖于给定参数化的问题。对于标量场的积分，答案很简单：无论参数化为何，面积分不变。

对于向量场，情况复杂一些，因为涉及到曲面的法向量。如果两个参数化下法向量的定向相同，则积分值不变。如果法向量定向相反，则积分值相反。因此，不必拘泥于特定参数化，但是对于向量场，参数化的定向必须保持一致。

另外一个问题是，有时曲面没有覆盖整个曲面的单一参数化；譬如对于有限长的圆柱面就是这样。一个直接的解决办法就是将曲面切成几片，在每一片上求面积分，然后加起来。这就是正确的办法，但是对向量场积分的时候，必须小心，要让每个小片的法向量定向和周围的一致。对于柱面来讲，也就是让所有片的法向量向外指。

最后一个问题是，有些曲面没有一个一致的法向量（譬如莫比乌斯带）。对于这样的曲面，无法找到一致的定向。这样的曲面称为不可定向的，在其上无法进行向量场的积分。

参看

• 散度定理
• 斯托克斯定理
• 体积分
• 不同坐标系下的体积和面积元

参考

• Leathem, J. G. Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge, England: University Press, 1905

外部链接

• 曲面积分 -- MathWorld
• 曲面积分 -- 理论和习题