曼德尔球

一个光线跟踪的3维曼德尔球图像
迭代于 $z\mapsto z^8 + c$

曼德尔球（Mandelbulb）是一个三维的曼德博集合的模拟，由丹尼尔·怀特和保罗·尼兰德采用球坐标构造。^[1]

因为没有复数的二维空间的三维类似物，因此不存在规范的三维曼德博集合。可以使用四元数的4个维度构建曼德博集合。然而，这样构建的集合不能和二维的那样在所有尺度上表现细节。

怀特和尼兰德关于三维矢量“N”次方的公式 $\langle x, y, z\rangle$ 为

$\langle x, y, z\rangle^n = r^n\langle\sin(n\theta)\cos(n\phi),\sin(n\theta)\sin(n\phi),\cos(n\theta)\rangle$

其中

$\begin{align}r&=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \phi&=\arctan(y/x)=\arg (x+yi) \\ {\rm and\ } \theta&=\arctan(\sqrt{x^2+y^2}/z)=\arccos(z/r).\end{align}$

他们使用迭代 $z\mapsto z^n+c$ ，其中“z^n”定义如上，“a+b”是一个矢量相加。^[2] 当n > 3，其结果是一个三维的球状物，有分形的表面和由参数n控制的叶子。他们的很多图形表现采用n = 8的设置。

参考资料 [编辑]

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