替代公理

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公理化集合论和使用它的逻辑数学计算机科学分支中,替代公理模式Zermelo-Fraenkel 集合论的一个公理模式,它本质上断言一个集合在一个映射(泛函谓词)下的也是一个集合。它对于构造特定的大集合是必需的。

陈述[编辑]

假定 P 是一个雙变量谓词,对于任何集合 x 有一个唯一的集合 y 使 P(x,y) 成立。接着我们可以形成一个單变量的泛函谓词 F,使得 F(x) = y 当且仅当 P(x,y)。

替代公理声称,给定一个集合 A,我们可以找到一个集合 B,它的成员完全是 FA 的成员上的值。注意对于每个这樣的谓词 P 都有一个相對應的公理;所以,这是一个公理模式

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中,这个公理模式读做:

(\forall x, \exist!\, y: P(x, y)) \rightarrow \forall A, \exist B, \forall y: y \in B \iff \exist x \in A : P(x, y)

换句话说,

如果给定任何集合 x有一个唯一的集合 y 使得 Pxy 成立,那么给定任何集合 A有着一个集合 B 使得,给定任何集合 yyB 的一个成员,当且仅当有是 A 的成员的一个集合 x 使得 P 对于 xy 成立。

如果允许在公理模式中使用导出的泛函谓词,则这个公理模式可以写为:

\forall A, \exist B, \forall y: y \in B \iff \exist x \in A : y = F(x)

对于每个导出的單变量的泛函谓词 F; 换句话说:

给定任何集合 A,有一个集合 B 使得,给定任何集合 yyB 的成员,当且仅当有是 A 的成员的一个集合 x 使得 y 等于 Fx 上的值。

通過外延公理可知这个集合 B 是唯一的。我们称这个集合 BAF 下的,并指示它为 F(A) 或(使用集合建構式符号形式){F(x):xA}。

有时引用这个公理不带唯一性要求:

\forall A (\forall x \in A, \exist y: P(x, y)) \rightarrow \exist B, \forall x \in A, \exist y \in B: P(x, y)

就是说,谓词 P 不被限制为泛函的:要应用它于一个集合 A,只需存在至少一个元素 y 对应于 A 的每个元素 x 就可以了;y 对每个 x 是唯一的不是必需的。在这种情况下,被断言存在的像集合 B 将为 A 的每个 x 包含至少一个这样的 y,不保证只包含唯一的一个。

有时陈述这个公理不对谓词加任何限制:

\forall A, \exist B, \forall x \in A : ((\exist y : P(x, y)) \rightarrow \exist y \in B : P(x, y))

就是说,根本不要求 P 把集合 A 的一个元素映射到任何對象。但是如果对于 A 的一个元素 x 有至少一个 y 对应于它,则像集合 B 将包含至少一个这样的 y

這個不對謂詞作限制的公理,也叫做有界公理搜集公理,看似比原先的替代公理更強,但是这两个版本都可以从替代公理推导出来。另一方面,任何泛函谓词都是谓词,所以有界公理也蕴涵替代公理,因此两个公理是等价的(在給定了其他 Zermelo-Fraenkel 公理的情況下)。

应用例子[编辑]

序数 ω·2 = ω + ω(使用冯·诺伊曼的现代定义)是第一个不使用替代公理就不能构造的序数。无穷公理断言无限序列 ω = {0, 1 ,2 ,...} 的存在,也只断言了这个序列。我們希望定义 ω·2 为序列 {ω, ω + 1, ω + 2,...},但是一般的序数的不一定是集合(例如,所有序数的类不是集合)。替代公理允许你把在 ω 中每个有限数 n 替代为对应的 ω + n,并保证替代所得的类是集合。注意你可以轻易地构造序同構于 ω·2 的良序集合而不需用到替代公理:取 ω 的两个复件的不交并,然后設第二个复件大于第一个便可。但這樣所得的集合並不是一个序数,因为它在屬於關係下不是一個全序

顯然,若要確保可以指派一個序數給任意的良序集合,也要用到替代公理。类似的,若要確保可以指派一個基數給任意集合(冯·诺伊曼基数指派),我們也需要替代公理,以及选择公理

所有的可数极限序数的構造也要求替代公理,就像 ω·2 的构造那樣。較大的序数則不那么直接地依赖于替代公理。例如 ω1 是第一个不可数序数,可以构造如下:由全體可数良序組成的集合,會是 ℘(N×N) 的一個子集,這點通过分离公理幂集公理可知(在 A 上的关系A×A 的一个子集,因此是幂集 ℘(A×A) 的一个元素。关系的集合因此是 ℘(A×A) 的子集)。把每个良序集合替代为它的序数。这是可数序数 ω1 的集合,它自身可以被证明是不可数的。这个构造使用了替代公理两次;第一次确保对每个良序集合的一个序数指派,第二次把良序集合替代为其對應的序数。这是 Hartogs 数英语Hartogs number的结果的特殊情况,而一般情况可以类似的证明。

不带替代公理的选择公理(ZC 集合论)不足以强到证明 博雷爾集确定英语Axiom of determinacy的;为此你需要替代公理。

历史和哲学[编辑]

多数可以应用替代公理的应用实际上不需要它。例如,假设 f 是从集合 S 到集合 T函数。接着我们可以构造一个泛函谓词 F 使得在 xS 的成员的时候有 F(x) = f(x),在其他时候隨意设 F(x) 為某個對象(這裡的指派方式不要緊)。然後,给定 S 的一个子集 A,应用替代公理模式于 F,构造子集 A 在函数 f 下的 f(A) 为 \{ F(x) : x \in A \}(或表示为 F(A))。但是这里实际上不需要替代公理,因为 f(A) 是 T 的子集,所以我们可以使用分类公理模式来构造这个像为集合 \{ y \in T : \exists x \in A, y = f(x) \}。一般的说,當 FA 的成员上的值都属于某个预先构造的集合 T 时,使用分类公理就足够了;只在不能获得这样的 T 的时候,才需要替代公理,比如定义在真类的子集上的運算

按某些哲学家的說法,在上述例子中最好应用分类公理于集合 T,因为分类公理在逻辑上弱于替代公理。实际上,在普通数学中不需要替代公理,只是需要它作為特定公理化集合论的特征。例如,你需要替代公理来从 ω·2 向上构造冯·诺伊曼序数,而冯·诺伊曼序数对特定集合论的结果是必需的。在良序集合的理论就足够应用的情況下,你不需要用替代公理构造这些序数。對於某些鑽研数学基础的数学家,特别是那些專注於类型论而非集合論的人,他們或認為这个公理在各種意義上都是不需要的,因此在其工作中不包括这个公理(以及其相對應的类型论版本)。通常在基于 拓撲斯 理论建造的基础理論上,都難以表达出替代公理,所以一般不包括它。然而,替代公理的争论不在于有人認為它的推论必然是假的(如选择公理的争论);只是有部分人認為它是没有必要的。

替代公理模式不是 恩斯特·策梅洛 在 1908年所公理化的集合论(Z)的一部分;它由 亞伯拉罕·弗蘭克爾英语Abraham Fraenkel 在 1922 年引入,從而得到了现代的 Zermelo-Fraenkel 集合论 (ZF)。陶拉爾夫·斯科倫英语Thoralf Skolem 在同一年晚些时候独立的发现了这个公理,实际上我们今天使用的公理列表是Skolem的最终版本 -- 通常不提及他的贡献是因为每个单独的公理都是 Zermelo 或 Fraenkel 早先发现的。从证明论的观点看,增加替代公理形成了很大的差异;把这个公理模式加進Zermelo 公理使系统在逻辑上更强,允许你证明更多的陈述。特别是,在ZF 中你可以通过构造冯·诺伊曼全集 Vω2模型,证明 Z相容性。(当然,哥德尔第二不完备定理表明这两个理论都不能证明自身的相容性,如果它自身是相容的。)

引用[编辑]

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.