最大下界

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数学中,某个集合的子集下确界(infimum, Infima)是小于或等于这个子集的所有其他元素的不一定在这个子集内的最大元素。所以还常用术语最大下界(简写为 glbGLB)。在数学分析实数的下确界是非常重要的常见特殊情况。但一般定义在更加抽象的序理论的任意偏序集合中仍是有效的。

下确界是上确界概念的对偶

实数集合的下确界[编辑]

数学分析中,实数的子集 S下确界最大下界被指示为 inf(S),并被定义为小于等于在 S 中的所有数的最大实数。如果没有这样的数存在(因为 S 没有下界),则我们定义 inf(S) = −∞。如果 S空集,我们定义 inf(S) = ∞(参见扩展的实数轴)。

实数的一个重要性质是实数的所有集合都有下确界(实数的任何有界非空子集都在非扩展的实数轴中有下确界)。

例子:

\inf \{1, 2, 3\} = 1.
\inf \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \}  =  0.
\inf \{ x \in \mathbb{R} : x^3 > 2 \} = 2^{1/3}.
\inf \{ (-1)^n + 1/n : n = 1, 2, 3, \dots \} = -1.

如果一个集合有最小元素,如同第一个例子,则这个最小元素就是这个集合的下确界。如后三个例子展示的,几个集合的下确界不一定属于这个集合。

下确界的概念和上确界在如下意义上是对偶的

\inf(S) = -\sup(-S)

这里的 -S = \{ -s | s \in S \}

一般的说,为了证明 inf(S) ≥ A,你只需要证明对于所有 S 中的 xxA。证明 inf(S) ≤ A 有点难:对于任何 ε > 0,你必须展示 S 中的一个元素 x 有着 xA + ε(当然,如果你能找到 S 中一个元素 x 有着 xA 马上就成了)。

参见:下极限

在偏序集合内的下确界[编辑]

下确界的定义容易推广到任何偏序集合的子集上,并在序理论中扮演关键性角色。在序理论中,特别是格理论中,最大下界也叫做

形式的说,偏序集合(P,≤)的子集 S 的下确界是 P 的一个元素 l 使得

  1. 对于所有 S 中的 xlx
  2. 对于任何 P 中的 p,如果对于所有 S 中的 xpxpl

有这些性质的任何元素必然是唯一的,但是一般的这种元素不一定存在。因此已知特定下确界存在的次序就变得特别有价值。详情请参见完备性

外部链接[编辑]

参见[编辑]