最大模原理

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复变函数cos(z)的模的图像(红色),其中 z单位原盘(蓝色)取值。最大模原理表明:函数的模的最大值不能在盘内取得,因此必然在其边缘的某一点上取到。

复分析中,最大模原理说明如果单变量复变函数 f 是一个全纯函数,那么它的 |f| 的局部最大值不可能在其定义域内部取到。

换句话来说,全纯函数 f 要么是常数函数,要么对于任意的在其定义域之内的 z0,都存在一个足够靠近它的点 z,使得 f 在后者上的取值的模 |f(z)| 比 |f(z)0| 更大。

正规定义[编辑]

f 为在复平面 C 的某个连通开子集 D 上定义的单複变全纯函数。如果z0D中一点,使得对它任意邻域上的其它的点 z 都有|f(z_0)|\ge |f(z)|,那么函数 f 是在 D 上的常数函数。

证明概要[编辑]

首先注意到等式:

log f(z) = log |f(z)| + i arg f(z)

于是,对于複变量自然对数, log |f(z)| 是一个调和函数。 由于 z0 是这个函数的一个局部极大值,根据极大值定理,|f(z)| 在定义域上是常数。因此,运用柯西-黎曼方程可以得到:f'(z)=0。于是可以推出 f(z) 是一个常数函数。

通过取倒数,可以得到对应的最小模原理。后者声称如果 f 在一个有界区域 D 内是全纯函数,并在其边界上连续,且在所有点上非零,那么函数 |f (z)| 的最小值只会在 D 的边界上取到。

同时,最大模原理可以被看作是所谓的开映射定理的一个特例。开映射定理声称,一个全纯函数必然将开集映射到开集。如果 |f| 在定义域内部一点 a 达到极大值,那么 a 的一个足够小的领域在 f 映射下的像集必然不是开集。于是,f 必然是常数函数。

应用[编辑]

最大模原理在复分析的许多领域中都有着应用,可以产生很多重要的结果,比如:

  • 用于证明代数基本定理:使用最大模原理的证明是一个基本的复分析的证明,可以在很多复分析教材中看到。
  • 用于证明施瓦茨引理,一个在复分析中有广泛引应用并可以推出很多结果的定理。
  • 其推广是弗拉格门-林德洛夫原理,将结果扩展到定义域无界的函数。

参考来源[编辑]

外部链接[编辑]