最小上界公理

最小上界公理，又稱為上確界原理，是实分析的公理。之所以稱為公理，是因為它在实分析的公理系统裡，不能被除了它本身以外的公理所證明。这个公理声称如果实数的非空子集有上界，则它有最小上界。这个公理可以用來证明实数集是完备度量空间。有理数集不满足最小上界公理，因而就不是完备的。一个理想的例子是 $S = \{ x\in \mathbb{Q}|x^2 < 2\}$。2 当然是这个集合的上界。但是这个集合没有最小上界 — 对于任何 $x \in S$，我们可以找到 $y \in S$ 有着 $y > x \$。

证明實數集的完備性

设 $\{ s_n\}_{n\in\N}$ 是柯西序列。设 S 為這樣一個集合，其中每個實數只大於序列 $\{ s_n\}_{n\in\N}$ 中的有限個成員。设 $\varepsilon\in\R ^+$，以及设 $N\in\N$ 使得 $\forall n,m\ge N$ $|s_n-s_m|<\varepsilon$。於是这个序列在這個区间 $(s_N-\varepsilon ,s_N+\varepsilon )$ 裡出現无限多次，而且只在它的補集裡最多出現有限次。这意味着 $s_N-\varepsilon\in S$ ， 因此 $S\not=\emptyset$。另外 $s_N+\varepsilon$ 是 S 的上界。於是通过 LUB 公理，可以设 b 是 S 的最小上界，而且 $s_N-\varepsilon\le b\le s_n+\varepsilon$ 。由三角不等式，當 n>N 時成立着 $d(s_n,b)\le d(s_n,s_N)+d(s_N,b)\le\varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon$。所以 $s_n\longrightarrow b$ 并因此 $\R$ 是完备的。Q.E.D.

等價命題

最小上界公理也可以由其它等價命題所取代，此時最小上界公理改稱為最小上界原理。這些等價命題包括：

• 最大下界原理：即下確界原理。與最小上界原理合稱確界原理。
• 柯西收斂準則：即上文所證明的實數集完備性。
• 收縮區間套原理：任何收縮的區間套恰好能套住一個點。
• 單調有界原理：單調有界序列必有極限。
• 聚點原理：任何有界序列必有收斂子列。又稱魏爾斯特拉斯聚點原理。

引用

• upper and lower bounds (including the lub axiom) at Springer's Encyclopedia of Mathematics