最小上界公理

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最小上界公理,又稱為上確界原理,是实分析公理。之所以稱為公理,是因為它在实分析的公理系统裡,不能被除了它本身以外的公理所證明。这个公理声称如果实数非空子集上界,则它有最小上界。这个公理可以用來证明实数集完备度量空间有理数集不满足最小上界公理,因而就不是完备的。一个理想的例子是 S = \{ x\in \mathbb{Q}|x^2 < 2\}。2 当然是这个集合的上界。但是这个集合没有最小上界 — 对于任何上界 x \in \mathbb{Q},我们可以找到上界 y \in \mathbb{Q} 有着 y < x \

证明實數集的完備性[编辑]

\{ s_n\}_{n\in\N}柯西序列。设 S 為這樣一個集合,其中每個實數只大於序列 \{ s_n\}_{n\in\N} 中的有限個成員。设 \varepsilon\in\R ^+,以及设 N\in\N 使得 \forall n,m\ge N |s_n-s_m|<\varepsilon。於是这个序列在這個区间 (s_N-\varepsilon ,s_N+\varepsilon ) 裡出現无限多次,而且只在它的補集裡最多出現有限次。这意味着 s_N-\varepsilon\in S , 因此 S\not=\emptyset。另外 s_N+\varepsilon 是 S 的上界。於是通过 LUB 公理,可以设 b 是 S 的最小上界,而且 s_N-\varepsilon\le b\le s_N+\varepsilon 。由三角不等式,當 n>N 時成立着 d(s_n,b)\le d(s_n,s_N)+d(s_N,b)\le\varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon。所以 s_n\longrightarrow b 并因此 \R 是完备的。Q.E.D.

等價命題[编辑]

最小上界公理也可以由其它等價命題所取代,此時最小上界公理改稱為最小上界原理。這些等價命題包括:

  • 最大下界原理:即下確界原理。與最小上界原理合稱確界原理
  • 柯西收斂準則:即上文所證明的實數集完備性。
  • 收縮區間套原理:任何收縮的區間套恰好能套住一個點。
  • 單調有界原理:單調有界序列必有極限。
  • 聚點原理:任何有界序列必有收斂子列。又稱魏爾斯特拉斯聚點原理。

引用[编辑]