最小公倍數

最小公倍數是数论中的一个概念。兩個整數公有的倍數称为它们的公倍数，其中最小的一個正整数称为它们两个的最小公倍数。同样地，若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数。n个整数$a_1, a_2, \cdots , a_n$的最小公倍数一般记作：$[a_1, a_2, \cdots , a_n]$，或者参照英文记法记作$\operatorname{lcm}(a_1, a_2, \cdots , a_n)$，其中lcm是英语中“最小公倍数”一词（least common multiple）的首字母缩写。

例如，十天干和十二地支的混合稱为一个陰曆年，干支循環回歸同一名稱的所需時間，就是12和10的最小公倍數，即是60──一個「甲子」。

对分數进行加減运算時，要求兩數的分母相同才能計算，故需要通分；标准的计算步骤是将兩個分數的分母通分成它们的最小公倍數，然后将通分后的分子相加。

与最大公约数的关系

两个整数的最小公倍数与最大公约数之间有如下的关系

$\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{|a\cdot b|}{\operatorname{gcd}(a,b)}$

计算方法

最小公倍数可以通过多种方法得到，最直接的方法是列举法，从小到大列举出其中一个数（如最大數）的倍数，当这个倍数也是另一个数的倍数时，就求得最小公倍数。另一个方法是利用公式$\operatorname{lcm}(a_1,a_2)=\frac{a_1 a_2 }{\gcd(a_1,a_2)}$来求解，这时首先要知道它们的最大公因数。而最大公约数可以通过短除法得到。

利用整数的唯一分解定理，还可以用質因數分解法。将每个整数进行质因数分解。对每个质数，在质因数分解的表达式中寻找次数最高的乘幂，最后将所有这些质数乘幂相乘就可以得到最小公倍数。譬如求216、384和210的最小公倍數。对216、384和210来说：

$216=2^3 \times 3^3$，$384=2^7 \times 3^1$，$210=2^1 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1$。

其中2 对应的最高次乘幂为2⁷；3 对应的最高次乘幂为3³；5 和7 对应的最高次乘幂分别是5¹ 与7¹。将这些乘幂乘起来，就可以得到最小公倍数：

$[216, 384, 210]=2^7 \times 3^3 \times 5^1 \times 7^1 = 120960$。

应用

求最小公倍数是进行分数加减法时的步骤之一。将分母通分时，会把所有分数的分母通分为它们的最小公倍数，然后将分子相加。例如：

${2\over21}+{1\over6}={4\over42}+{7\over42}={11\over42}$

其中分母42就是21与6的最小公倍数。

参见

• 最大公约数
• 莫比乌斯函数

参考来源

• 柯召，孙绮，孙琦. 《数论讲义》. 高等教育出版社. 2005. ISBN 7-040-09190-1. 
• 阿尔伯特﹒H﹒贝勒著 谈祥柏译. 《数论妙趣：数学女王的盛情款待》. 上海教育出版社. 1998. ISBN 7-532-05473-0.