有序交換群

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定義[编辑]

有序交換群係指一對 (\Gamma, >),其中 \Gamma交換群> 為其上的一個二元關係,且滿足如下條件:

  • a < 0,則 -a > 0
  • a, b > 0,則  a+b > 0

另一種等價的描述是:給定一個子集 \Gamma_+  \subset \Gamma,使得 \Gamma_+ 對加法封閉,且  \Gamma = \Gamma_+ \cup \{ 0 \} \cup -\Gamma_+

若對於每個  x \in \Gamma 都存在 n \in \mathbb{Z} 使得 n \cdot 1 > x,則稱 (\Gamma,>) 滿足阿基米德性質

範例與基本性質[编辑]

  • 由上述公理可推出:對於每個 x \in \Gamma, x \neq 0 都有  x^2 > 0
  • \mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{R}^* 都是有序交換群且滿足阿基米德性質。
  • (\Gamma, >_1), (\Gamma_2,  >_2) 為有序交換群,則 \Gamma_1 \times \Gamma_2 配合其字典序也構成一個有序交換群。
  • (\Gamma, >) 滿足阿基米德性質的充要條件是它可以嵌入 (\mathbb{R}, +)

參見[编辑]