有序交換群

定義

有序交換群係指一對 $(\Gamma, >)$，其中 $\Gamma$ 為交換群，$>$ 為其上的一個二元關係，且滿足如下條件：

• 若 $a < 0$，則 $-a > 0$。
• 若 $a, b > 0$，則 $a+b > 0$。

另一種等價的描述是：給定一個子集 $\Gamma_+ \subset \Gamma$，使得 $\Gamma_+$ 對加法封閉，且 $\Gamma = \Gamma_+ \cup \{ 0 \} \cup -\Gamma_+$。

若對於每個 $x \in \Gamma$ 都存在 $n \in \mathbb{Z}$ 使得 $n \cdot 1 > x$，則稱 $(\Gamma,>)$ 滿足阿基米德性質。

範例與基本性質

• 由上述公理可推出：對於每個 $x \in \Gamma, x \neq 0$ 都有 $x^2 > 0$。
• $\mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{R}^*$ 都是有序交換群且滿足阿基米德性質。
• 若 $(\Gamma, >_1), (\Gamma_2, >_2)$ 為有序交換群，則 $\Gamma_1 \times \Gamma_2$ 配合其字典序也構成一個有序交換群。
• $(\Gamma, >)$ 滿足阿基米德性質的充要條件是它可以嵌入 $(\mathbb{R}, +)$。

參見

• 序理論
• 環