有序域

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数学的一个分支代数中,有序域是一个偏序关系通过加法乘法运算不被改变的。最常见的有序域的例子是实数

定义[编辑]

一个满足下面两个条件的、拥有偏序关系\leq的域(K,+,\cdot)被定义为有序域:对于任何K中的元素abc以下两个条件获得满足:

  • a \leq ba + c \leq b + c
  • 0 \leq a0 \leq b0 \leq a\cdot b

大于0的元素被称为是正的,小于0的元素被称为是负的

特性[编辑]

由以上定义可以直接推导出以下特性(abcdK的元素):

  • 一个正的元素的负数是负的,一个负的元素的负数是正的:即任何K中的a,假如a\neq 0-a<0<aa < 0 < -a
  • 不等式可以相加:a <= bc <= da + c <= b + d
  • 不等式可以与正元素相乘:a <= b和0 <= cac <= bc
  • 平方数不是负的:0 <= a2,尤其0 < 1。
  • 通过数学归纳法可以推导出任何一的有限的和是正的:0 < 1+1+...+1。

结构[编辑]

所有有序域都具有特征数0。这个结论直接出于上述的最后一个特性0 < 1+1+...+1。

每个有序域的部分域也是有序域。如同任何含特征数0的域其最小的域与有理数同等,这个部分域的排序与\Bbb Q一致。

假如一个有序域中的任何元素都位于两个有理数之间的话,则该域具有阿基米德性质。比如实数是具有阿基米德性质的,而超实数则不具有。

有序域K的排序说明K拓扑空间,这个拓扑空间是由\{x\in K | x < a\}\{x\in K | x > a\}形成的。加法和乘法运算相对于这个拓扑空间是连续的。

例子[编辑]