有理函數

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有理函數是可以表示為以下形式的函數

f(x)=\frac{a_m x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots +a_1x+a_0}{b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots +b_1x+b_0}  = \frac{P_m(x)}{Q_n(x)} \quad ; \quad m, n \in \mathbb{N}_0b_i不全為0。

有理數式是多項式除法的商,有時稱為代數分數

漸近線[编辑]

  • 不失一般性可假設分子、分母互質。若存在r>0,使得(px+q)^r是分母Q(x)的因子,則有理函數存在垂直漸近線x=-q/p
  • m<n,有水平漸近線y=0
  • m=n,有水平漸近線y=\frac{a_m}{b_m}
  • m=n+1,有斜漸近線y=\frac{a_m}{b_n} x + \frac{b_n*a_{m-1} - b_{n-1}*a_m}{{b_n}^2}

泰勒級數[编辑]

有理函數的泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係。反之,若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係,它對應的函數是有理函數。

部分分式[编辑]

部分分式,又稱部分分數分項分式,是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧。

有理數式可分為真分式、假分式和帶分式,這和一般分數中的真分數、假分數和帶分數的概念相近。真分式分子的次數少於分母的。

若有理數式\frac{P(x)}{Q(x)}的分母Q(x)可分解為數個多項式的積,其部分分數便是\sum\frac{A_n}{Q(x)/h_n(x)},其中h_n(x)Q(x)的因子,A_n是次數不大於Q(x)/h_n(x)的多項式。

例子[编辑]

  1. 分拆\frac{x^3 - 5x +88}{x^2 + 3x - 28}

分子的次數是3,分母的是2,所以先將它轉成真分式和多項式的和(即帶分式):

x-3 + \frac{32 x+4}{x^2 + 3x - 28}

因為x^2 + 3x - 28 = (x+7)(x-4),所以

\frac{32 x+4}{x^2 + 3x - 28} = \frac{A}{x+7} + \frac{B}{x-4}

其中A和B是常数。两边乘以x^2 + 3x - 28,得

\ 32x + 4 = A(x-4) + B(x+7)

\ 32x + 4 = (A+B)x + (7B-4A)

比較係數,得

\ A + B = 32

\ 7B - 4A = 4

解得A=20, B=12

故: \frac{x^3 - 5x +88}{x^2 + 3x - 28} = x + \frac{20}{x+7} + \frac{12}{x-4} - 3

也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如,当x=4时,我们有

\ 128 + 4 = 11B

\ B = 12

当x=-7时,我们有

\ -224 + 4 = -11A

\ A = 20

應用[编辑]

積分[编辑]

部分分數[编辑]

在計算有理數式的積分時,部分分數的方法很有用,因為分母的1和2次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算。

  • 分母為1次多項式:求\int \frac{1}{ax+b} dx

u=ax+b

\frac{du}{dx} = a
\frac{du}{a} = dx

原式變為

\int \frac{1}{u} \frac{du}{a} = \frac{1}{a} \int \frac{1}{u} {du} = \frac{\ln\left|u\right|}{a} + C = \frac{\ln\left|ax+b\right|}{a} + C
  • 分母次數為2:求\int \frac{dx+e}{ax^2+bx+c} dx

若多項式ax+bx+c可分解為兩個一次多項式的積(即b^2-4ac \ge 0),則可用部分分數的方法解決。若多項式不可分解,則將它配方,再用各種替代法解決。

例如:

\int {x+6 \over x^2-8x+25}\,dx.

因為

x^2-8x+25=(x^2-8x+16)+9=(x-4)^2+9\,

考慮

u=x^2-8x+25\,
du=(2x-8)\,dx
du/2=(x-4)\,dx

將分子分解,以便應用上面的替換:

\int {x-4 \over x^2-8x+25}\,dx + \int {10 \over x^2 - 8x + 25} \, dx

左邊:

\int {x-4 \over x^2-8x+25}\,dx = \int {du/2 \over u}
= {1 \over 2}\ln\left|u\right|+C
= {1 \over 2}\ln(x^2-8x+25)+C

另一邊:

\int {10 \over x^2-8x+25} \, dx
= \int {10 \over (x-4)^2+9} \, dx
= \int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^2+1}\,dx

代入

w=(x-4)/3\,
dw=dx/3\,
{10 \over 3}\int {dw \over w^2+1}
= {10 \over 3} \arctan(w)+C={10 \over 3} \arctan\left({x-4 \over 3}\right)+C.

另一種可行的代入方法是:

\tan\theta={x-4 \over 3},\,
\left({x-4 \over 3}\right)^2+1=\tan^2\theta+1=\sec^2\theta,\,
d\tan\theta=\sec^2\theta\,d\theta={dx \over 3}.\,

\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^2+1}\,dx = 10/9 \int \frac{1}{\sec^2 \theta} 3 \sec^2 \theta \, d\theta = {10 \over 3} \arctan\left({x-4 \over 3}\right)+C

奧斯特洛格拉德斯基方法[编辑]

奧斯特洛格拉德斯基方法(Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method)是這樣的:

設求積的有理函數為 \frac{P}{Q},其中P,Q是多項式,\deg(P)<\deg(Q)P的次數少於Q)。設Q_1為Q的導數Q'和Q的最大公因數,Q_2 = \frac{Q}{Q_1}。則有:

\int \frac{P}{Q} dx = \frac{P_1}{Q_1} + \int \frac{P_2}{Q_2} dx

其中P_1,P_2為多項式,\deg(P_i) < \deg(Q_i)

應用例子[编辑]

  • \int \frac{x dx}{(x-1)^2 (x+1)^3}
  1. Q = (x-1)^2 (x+1)^3
  2. Q' = 2(x-1)(x+1)^3 + 3(x-1)^2 (x+1)^2 = (x-1)(x+1)^2 ( 5x-1 )
  3. Q_1 = gcd(Q,Q') = (x-1)(x+1)^2
  4. Q_2 = Q/Q_1 = (x-1)(x+1)

P_1 = Ax^2 + Bx + C , \quad P_2 = Dx + E

\int \frac{x dx}{(x-1)^2 (x+1)^3}  = \frac{Ax^2 + Bx + C}{(x-1)(x+1)^2} + \int \frac{Dx + E}{(x-1)(x+1)} dx

兩邊取導數:

\frac{x}{(x-1)^2 (x+1)^3} = \frac{A x^3  + (2 B - A) x^2  + (3 C - B + 2 A) x - C + B}{ (x-1)^2 (x+1)^3 } + \frac{Dx + E}{(x-1)(x+1)}

通分母,右邊的分子為:

D x^4 + (E + D - A) x^3  + (E - D - 2 B + A) x^2 + (- E - D - 3 C + B - 2 A) x - E + C - B

比較分子的多項式的係數,得A=B=E=-0.125, C=-0.25, D=0。於是有

\int \frac{x dx}{(x-1)^2 (x+1)^3}  = \frac{x^2 + x + 2}{8(1-x)(x+1)^2} + \int \frac{dx}{8(x-1)(x+1)}

後者可用部分分數的方法求得。

證明[编辑]

\int \frac{P}{Q} dx = \frac{P_1}{Q_1} + \int \frac{P_2}{Q_2} dx
\frac{P}{Q} = \frac{P'_1 - \frac{Q'_1 P_1}{Q_1} }{Q_1} + \frac{P_2}{Q_2}

兩邊乘以Q

P = P'_1 Q_2 - \frac{Q'_1 Q_2 P_1}{Q_1} + P_2 Q_1

由於 Q'_1 Q_2 = Q' - Q_1 Q'_2,而Q'Q_1 Q'_2都是Q_1的倍數,所以\frac{Q'_1 Q_2 P_1}{Q_1}是多項式。

比較兩邊多項式的次數:

  • \deg(P) \le \deg(Q)-1
  • \deg(P'_1 Q_2 \le (\deg(Q_1)-1) + (\deg(Q)-\deg(Q_1)) = \deg(Q)-1
  • \deg(\frac{Q'_1 Q_2 P_1}{Q_1}) \le (deg(Q_1)-1) + (\deg(Q)-\deg(Q_1)) + ( \deg(Q_1) - 1 ) - \deg(Q_1) = \deg(Q) - 2
  • \deg(P_2 Q_1) \le (\deg(Q) - \deg(Q_1) - 1) + \deg(Q_1) = \deg(Q)-1

因此P_1, P_2有解。

Hermite方法[编辑]

應用[编辑]

參考[编辑]