有理映射

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代數幾何中,有理映射是定義在概形的稠密開集上的態射。有理映射及由此引生的雙有理等價是古典代數幾何學的主要對象。

定義[编辑]

固定概形 V, W。考慮所有的資料 (U,f),其中 U \subset V 是稠密開集,而 f: U \to W 是態射;這些資料代表了 U 上「部份定義」的態射,U 代表 f 的定義域。定義下述等價關係:

(U,f) \sim (U', g) \iff f|_{U \cap U'} = g|_{U \cap U'}

此外,注意到稠密性保證 U \cap U' 也是 V 中的稠密開集。當 V 不可約,則所有非空開集都是稠密的。若再假設 V 既約而 W分離概形,則任一等價類有唯一一個定義域最大的代表元。

從概形 VW有理映射 f 是其中的一個等價類 [U,f]

f 是從 UVg 是從 VW 的有理映射,則一般並不能定義其合成 g \circ f。但是當 f 的像(對某個,因而對每個代表元 (U_0, f_{U_0}))在 V 中稠密時,對每個 g 的代表元 (V_0, g_{V_0})f_{U_0}(U_0) \cap V_0 皆非空,此時可以定義 g \circ f := [f_{U_0}^{-1}(V_0), g_{V_0} \circ f_{U_0}]

同理,若 VW 都是 S 上的概形,也可以類似地定義 S-有理映射。

例子[编辑]

k整環,設 V := \mathbb{A}^n_kW := \mathbb{A}^m_k,則從 VW 的任何有理映射 f 有唯一的表法:

f = \left(\dfrac{f_1(x_1, \ldots, x_n)}{g_1(x_1, \ldots, x_n)}, \ldots, \dfrac{f_m(x_1, \ldots, x_n)}{g_m(x_1, \ldots, x_n)}\right)

其中 f_i, g_i 是多項式。該有理映射可以在 \mathbb{A}^n_k \setminus \bigcup_i \{g_i = 0 \} 上定義。

此外,對於不可約 k-概形 X,其上的有理函數一一對應到從 X\mathbb{P}^1_k 的有理映射。

優勢映射與雙有理等價[编辑]

之前考慮合成問題時,曾利用像的稠密性條件;滿足該條件的有理映射稱為優勢映射。由於優勢映射可以作合成,定義從概形 VW雙有理等價為一個優勢映射 f,使得存在另一個從 WV 的優勢映射 g,使 f \circ g = \mathrm{id}_Wg \circ f = \mathrm{id}_V

以下考慮 k 上的不可約代數簇及其間的 k-有理映射。有理映射的地位在於:透過有理函數的「拉回」運算,代數簇之間的優勢映射對應到函數域之間的映射,而雙有理等價對應到函數域的同構。由此可知代數簇的雙有理等價範疇等價於函數域的反範疇。

雙有理等價的例子[编辑]

雙有理等價的定義較同構寬,因為我們容許態射在某維度較低的閉集上未定義。一個例子是 \mathbb{P}^2_kX: xy-wz =0 \subset \mathbb{P}^3_k,兩者雙有理等價,而並不同構。原因如下:\mathbb{P}^2_k 中的任兩條閉曲線都有交點,而在 X 中,w=x=0y=z=0 不相交,因而 X\mathbb{P}^2_k 並不同構。

另一方面,X函數域可以在仿射開集 w \neq 0 上計算,此開集的座標環是 k[x,y,z]/(xy-z) \simeq k[x,y],其函數域是 k(x,y);這也是 \mathbb{P}^2_k 的函數域,於是二者雙有理等價。若細審上述論證,事實上能寫出所求雙有理等價的式子。

參見[编辑]

文獻[编辑]

  • Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 3540051139 (French). 
  • Hartshorne, Robin. Algebraic Geoemtry. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1977. ISBN 0387902449 (English).