有理簇

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數學中的代數幾何領域, K 上的有理簇是一個雙有理等價於射影空間 \mathbb{P}_K^nn \in \N)的代數簇。有理性僅依賴於其函數域,更明確地說,代數簇 X 是有理簇若且唯若 K(X) \simeq K(T_1, \ldots, T_n) \;(n \in \N),其中 T_1, \ldots, T_n 是獨立的變元。

古典結果[编辑]

Lüroth 定理是關於有理簇的基本結論,它斷言:對於有理函數K(T) 的子域 L,若次數 [K(T):L] 有限,而 K 代數閉,則 L 也是個有理函數域。

翻譯成幾何語言,這相當於說:若對代數閉域 K 上的代數曲線 C,存在滿態射 \mathbb{P}^1 \to C(或稱分歧覆蓋),則 C 是有理簇。

有理簇有一個有用的性質:若 K有限域XK-有理簇,則 X(K)X(\bar{K}) 中稠密。

單有理簇[编辑]

能由有理簇覆蓋的代數簇稱為單有理簇,用域論的語言來說,即是有理函數域 K(T_1, \ldots, T_n) 的子域 L,使得 [K(T_1, \ldots, T_n):L] 有限。凡有理簇皆為單有理簇;在一維的情形,Lüroth 定理斷言單一維的有理簇皆是有理簇。

對於複代數曲面,同樣可由 Castelnuovo 定理導出單有理曲面皆為有理簇。但是在特徵 p > 0 時存在反例。在三維情形, Clemens 與 Griffiths 找出了反例。

例子[编辑]

文獻[编辑]

  • Noether, Emmy, Rationale Funkionenkorper, J. Ber. d. DMV. 1913, 22: 316–319 .
  • Noether, Emmy, Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe, Mathematische Annalen. 1918, 78: 221–229, doi:10.1007/BF01457099 .
  • Swan, R. G., Invariant rational functions and a problem of Steenrod, Inventiones Mathematicae. 1969, 7: 148–158, doi:10.1007/BF01389798 
  • Martinet, J., Exp. 372 Un contre-exemple à une conjecture d'E. Noether (d'après R. Swan);, Séminaire Bourbaki. Vol. 1969/70: Exposés 364--381, Lecture Notes in Mathematics, 180, Berlin, New York: Springer-Verlag. 1971, MR0272580