有界函数

有界函数（红）和无界函数（蓝）。

定义在集合X上的函数称为有界的，如果它所有的值所组成的集合是有界的。也就是说，存在一个数M>0，使得对于X中的所有x，都有

$|f(x)|\le M$。

有时，如果对于X中的所有x，都有$f(x)\le A$，则函数称为上有界的，A就是它的上界。另一方面，如果对于X中的所有x，都有$f(x)\ge B$，则函数称为下有界的，B就是它的下界。

一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。所以，一个数列f = ( a₀, a₁, a₂, ... ) 是有界的，如果存在一个数M > 0，使得对于所有的自然数n，都有

|a_n| ≤ M。

例子

• 由f (x)=sin x所定义的函数f:R → R是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。
• 函数

$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$

（x不等于−1或1）是无界的。当x越来越接近−1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为[2, ∞).，则函数就是有界的。

• 函数

$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$

是有界的。

• 任何一个连续函数f:[0,1] → R都是有界的。
• 考虑这样一个函数：当x是有理数时，函数的值是0，而当x是无理数时，函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。