有界变差

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有界變差是函數的一個性質,它指的是總變差為有限的函數

有界變差的理論對黎曼-斯蒂尔杰斯积分有相當的用處。

定義[编辑]

\Delta f(x_i) = f(x_i) - f(x_{i-1}),若一個定義於實數區間[a,b]上函數f有界變差函數,則對於任意在[a,b]上的劃分P = \{x_0, x_1, ....., x_n \}而言,存在一正實數M而言,有\sum_{i=1}^n |\Delta f(x_i)| \le M

其定義可推廣至複數乃至於任何的歐幾里德空間上。

性質[编辑]

  • 任意單調函數都是有界變差的。
  • f在區間[a,b]上滿足Lipschitz條件,即存在常數K>0,使得對於任意x', x'',有|f(x')-f(x'')|\le K|x'-x''|,則f[a,b]上是有界變差的。
  • f在區間[a,b]上連續,且在區間的內部(a,b)可微,若對於任意在f定義域[a,b]的內部(a,b)的點x而言,存在一正實數A使得|f'(x)| \le A,則f[a,b]上是有界變差的。
  • f在區間[a,b]上是有界變差的,則f在該區間上亦是有界的。
  • f在區間[a,b]上是有界變差的,則其不連續點的數量是可數的。

參見[编辑]

參照[编辑]