有界算子

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泛函分析此一數學分支裡,有界線性算子是指在賦範向量空間XY 之間的一種線性變換L,使得對所有X 內的非零向量vL(v) 的範數v 的範數間的比值會侷限在相同的數字內。亦即,存在一些M > 0,使得對所有在X 內的v

\|Lv\|_Y \le M \|v\|_X.\, \,

其中最小的M 稱為L算子范数\|L\|_{\mathrm{op}} \,

有界線性算子一般不會是有界函數;後者需要對所有的vL(v)的範數是有界的,但這只有在Y 為零向量空間時才有可能。然而,有界線性算符為局部有界函數

一個線性算子為有界的,若且唯若其為連續的。因此有界线性算子也被称为连续线性算子。

例子[编辑]

  • 任何在兩個有限維度賦範空間之間線性算符皆是有界的,且此類算符可以被視為某些固定矩陣的乘積。
  • 許多積分變換為有界線性算符。例如,設
K:[a, b]\times [c, d]\to {\mathbf R} \,
為一連續函數,則算符L
(Lf)(y)=\int_{a}^{b}\!K(x, y)f(x)\,dx, \,
(定義於由在[a, b] \, 上的連續函數所組成的空間C[a, b] \,,賦予空間C[c, d] \, 均勻範數的值)是有界的。此一算符實際上也是緊緻的。緊緻算符在有界算符中是很重要的一類。
\Delta:H^2({\mathbf R}^n)\to L^2({\mathbf R}^n) \,
(其定義域為索伯列夫空間,值域在由平方可積函數所組成的空間內)是有界的。
L(x_0, x_1, x_2, \dots)=(0, x_0, x_1, x_2,\dots) \,
是有界的。其算符範數可輕易地看出為1。

有界和連續的等價[编辑]

如開頭所述,在賦範空間XY間的線性算符L 是有界的,若且唯若其為連續線性算符。證明如下:

  • L 是有界的,則對X內的所有向量vh(其中的h不為零),會有
\|L(v + h) - L v\| = \|Lh\| \le M\|h\| \,
\mathit{h} \, 趨近於零,即可證明Lv 是連續的。甚至,因為常數M 不依賴v,可證明L 實際上是均勻連續的(更甚之,還是利普希茨連續的)。
  • 反過來,在零向量的連續性,允許存在一個\delta > 0,使得對所有X\|h\| \le \delta 的向量h\|L(h)\|=\| L(h) - L(0) \| \le 1。因此,對所有'X 內的非零向量v,會有
\|Lv\| = \left \Vert {\|v\| \over \delta} L \left( \delta {v \over \|v\|} \right) \right \Vert = {\|v\| \over \delta} \left \Vert L \left( \delta {v \over \|v\|} \right) \right \Vert \le  {\|v\| \over \delta} \cdot 1  = {1 \over \delta}\|v\|.
這證明了L 是有界的。


參考資料[编辑]

  • Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989

参见[编辑]