有界算符

在泛函分析此一數學分支裡，有界線性算符是指在賦範向量空間X 及Y 之間的一種線性變換L，使得對所有X 內的非零向量v，L(v) 的範數與v 的範數間的比值會侷限在相同的數字內。亦即，存在一些M > 0，使得對所有在X 內的v，

$\|Lv\|_Y \le M \|v\|_X.\, \,$

其中最小的M 稱為L 的算符範數。$\|L\|_{\mathrm{op}} \,$。

有界線性算符一般不會是有界函數；後者需要對所有的v，L(v)的範數是有界的，但這只有在Y 為零向量空間時才有可能。然而，有界線性算符為局部有界函數。

一個線性算符為有界的，若且唯若其為連續的。

例子

• 任何在兩個有限維度賦範空間之間線性算符皆是有界的，且此類算符可以被視為某些固定矩陣的乘積。

• 許多積分變換為有界線性算符。例如，設

$K:[a, b]\times [c, d]\to {\mathbf R} \,$

為一連續函數，則算符L

$(Lf)(y)=\int_{a}^{b}\!K(x, y)f(x)\,dx, \,$

（定義於由在$[a, b] \,$ 上的連續函數所組成的空間$C[a, b] \,$，賦予空間$C[c, d] \,$ 均勻範數的值）是有界的。此一算符實際上也是緊緻的。緊緻算符在有界算符中是很重要的一類。

• 拉普拉斯算符

$\Delta:H^2({\mathbf R}^n)\to L^2({\mathbf R}^n) \,$

（其定義域為索伯列夫空間，值域在由平方可積函數所組成的空間內）是有界的。

• 在由所有實數序列(x₀, x₁, x₂...)（其中$x_0^2+x_1^2+x_2^2+\cdots < \infty, \,$）所組成的l² 空間上的位移算符

$L(x_0, x_1, x_2, \dots)=(0, x_0, x_1, x_2,\dots) \,$

是有界的。其算符範數可輕易地看出為1。

有界和連續的等價

如開頭所述，在賦範空間X 及Y間的線性算符L 是有界的，若且唯若其為連續線性算符。證明如下：

• 設L 是有界的，則對X內的所有向量v 及h（其中的h不為零），會有

$\|L(v + h) - L v\| = \|Lh\| \le M\|h\| \,$。

令$\mathit{h} \,$ 趨近於零，即可證明L 在v 是連續的。甚至，因為常數M 不依賴v，可證明L 實際上是均勻連續的（更甚之，還是利普希茨連續的）。

• 反過來，在零向量的連續性，允許存在一個$\delta > 0$，使得對所有X 內$\|h\| \le \delta$ 的向量h，$\|L(h)\|=\| L(h) - L(0) \| \le 1$。因此，對所有'X 內的非零向量v，會有

$\|Lv\| = \left \Vert {\|v\| \over \delta} L \left( \delta {v \over \|v\|} \right) \right \Vert = {\|v\| \over \delta} \left \Vert L \left( \delta {v \over \|v\|} \right) \right \Vert \le {\|v\| \over \delta} \cdot 1 = {1 \over \delta}\|v\|.$

這證明了L 是有界的。

參考資料

• Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989

在泛函分析中，有界线性算子或有界算子是在两个赋范向量空间 X 和 Y上的线性算子 L，如果对于任意的X中的非零元素v，都有L(v)与v的范数之比有界。 即存在M>0 使得 $\forall{v} \in X$ 有

$\|Lv\|_Y \le M \|v\|_X.\, \,$

满足上式的最小的实数 M 称为算子范数 $\|L\|_{\mathrm{op}} \,$。

有界线性算子并不是一个有界函数。有界函数要求L(v) 的范数有限，这使得L 不可能成为一个线性算子，除非Y 为零向量空间。 在两个有限维赋范线性空间上的所有线性算子都是有界的，并且这样的算子都可以被看做是与某个固定矩阵的乘法。

参见

• 算子代数
• 算子理论