有界輸入有界輸出穩定性

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信號處理控制理論中,有界輸入有界輸出穩定性簡稱BIBO穩定性,是一種針對有輸入信號線性系統穩定性。BIBO是「有界輸入有界輸出」(Bounded-Input Bounded-Output)的簡稱,若系統有BIBO穩定性,則針對每一個有界的輸入,系統的輸出也都會有界,不會發散到無限大。

對於信號若存在有限的定值B > 0使得信號的振幅不會超過B,則此信號為有界的,也就是說

\ |y[n]| \leq B \quad \forall n \in \mathbb{Z} 針對離散訊號,或
\ |y(t)| \leq B \quad \forall t \in \mathbb{R} 針對連續訊號

線性時不變系統時域分析下的條件[编辑]

連續系統的充份及必要條件[编辑]

針對連續時間的線性時不變(LTI)系統,BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分,也就是存在L1範數

 \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t)\right|\,\mathord{\operatorname{d}}t} = \| h \|_{1} < \infty

離散系統的充份條件[编辑]

針對離散時間的線性時不變系統,BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分,也就是存在L1範數

\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left|h[n]\right|} = \| h \|_{1} < \infty

充份條件的證明[编辑]

假設離散時間的線性時不變系統,其脈衝響應\ h[n]和輸入\ x[n]和輸出\ y[n]之間會有以下的關係:

\ y[n] = h[n] * x[n]

其中*卷積 則依卷積的定義:

\ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{h[k] x[n-k]}

\| x \|_{\infty}\ |x[n]|的最大值

\left|y[n]\right| = \left|\sum_{k=-\infty}^{\infty}{h[n-k] x[k]}\right|
\le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[n-k]\right| \left|x[k]\right|}(根據三角不等式
\le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[n-k]\right| \| x \|_{\infty}}
= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[n-k]\right|}
= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|}

h[n]是絕對可求和,則\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|} = \| h \|_1  < \infty

\| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|} = \| x \|_{\infty} \| h \|_1

因此若h[n]是絕對可求和,且\left|x[n]\right|有界,則因為\| x \|_{\infty} \| h \|_1 < \infty\left|y[n]\right|也會有界。

連續時間的情形也可以依類似的方式證明。

線性時不變系統頻域分析下的條件[编辑]

連續時間訊號[编辑]

對於一個有理的連續時間系統,穩定性的條件是拉普拉斯轉換收斂區域包括複數平面的虛軸。若系統為因果系統,其收斂區域為「最大極點」(實部為最大值的極點)實部垂直線往右的開集,定義收斂區域的極點實部稱為收斂橫坐標英语abscissa of convergence。因此,若要有BIBO穩定性,系統的所有極點都需在S平面英语S plane的嚴格左半平面(不能在虛軸上)。

可以將時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下:

\int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t)\right| \,\operatorname{d}t}
 = \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t)\right| \left| e^{-j \omega t} \right| dt}
= \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t) (1 \cdot e)^{-j \omega t} \right| dt}
 = \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t) (e^{\sigma + j \omega})^{- t} \right| dt}
= \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t) e^{-s t} \right| dt}

其中s = \sigma + j \omega,且\mbox{Re}(s) = \sigma = 0.

因此收斂區域必須包括虛軸。

離散時間訊號[编辑]

對於一個有理離散時間系統,穩定性的條件是Z轉換收斂區域包括單位圓。若系統為因果系統,其收斂區域為極點絕對值中最大值為半徑的圓周以外的開集,因此,若要有BIBO穩定性,系統的所有極點都需在Z平面的單位圓內(不能在單位圓上)。

可以用類似的方式推導穩定性準則:

\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n]\right|}

= \sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n]\right| \left| e^{-j \omega n} \right|}
= \sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n] (1 \cdot e)^{-j \omega n} \right|}
=\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n] (r e^{j \omega})^{-n} \right|}
= \sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n] z^{- n} \right|}

其中z = r e^{j \omega},且r = |z| = 1

因此收斂區域必須包括單位圓

相關條目[编辑]

延伸閱讀[编辑]

  • Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
  • John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
  • D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
  • Proof of the necessary conditions for BIBO stability.
  • Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577