有界集合

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(顶上的)有界集合和(底下的)无界集合的示意图。底下的这个集合一直向右延续。

数学分析和有关的数学领域中,一个集合被称为有界的,如果它在特定意义上有有限大小。反过来说没有界的集合叫做无界的。

定义[编辑]

实数集合 S 被稱為“上有界”的,當存在一个实数 k,使得对于所有 S 中的 sks。这个数 k 被称为 S上界。可类似的定义术语“下有界”和下界

集合 S有界的,如果它有上界和下界二者。所以,实数集合集合是有界的,如果它包含在有限区间内。

度量空间[编辑]

度量空间 (M, d) 的子集 S有界的,如果它包含在有限半径的内,就是说如果对于所有 S 中的 s存在 M 中的 x 并且 r > 0,我们有 d(x, s) < rM 是有界度量空间(或 d 是有界度量),如果 M 作为自身的子集是有界的。

拓扑向量空间内的有界性[编辑]

拓扑向量空间中,存在叫做冯·诺伊曼有界性的不同的有界集合定义。如果拓扑向量空间的拓扑是引发自均匀度量,如度量是引发自赋范向量空间范数的情况,则这两个定义是一致的。

序理论中的有界性[编辑]

实数的集合是有界的,当且仅当它有上界和下界。这个定义可扩展到任何偏序集合的子集。注意这个更一般性的有界性概念不对应于“大小”的概念。

偏序集合 P 的子集 S 叫做上有界的,如果对于所有 S 中的 s,有 P 中一个元素 k 使得 ks。元素 k 叫做 S上界。可类似的定义下有界下界。(参见上界和下界。)

偏序集合 P 的子集 S 叫做有界的,如果它有上界和下界二者,或等价的说,它被包含在一个区间内。注意这不是集合 S 自己的一个性质,而是集合 S 作为 P 的子集的性质。

有界偏序集合 P(就是说自身就是有界而不是作为子集)是有最小元素最大元素的偏序集合。注意这个有界性的概念与有限大小无关,有界偏序集合 P 的子集 S 带有把在 P 上的次序的限制的作为次序不必然是有界偏序集合。

Rn 的子集 S 是关于欧几里得距离有界的,当且仅当它作为带有乘积序Rn 的子集是有界的。但是,S 可以作为关于带有词典序而不关于欧几里得距离的 Rn 的子集是有界的。

序数的类被称为是无界的,或共尾的,在给定任何序数的时候,总是有这个类的某个成员大于它。所以在这种情况下,“无界”不意味着自身是无界的而是作为序数类的子类是无界的。

参见[编辑]