有界集合
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本条目没有列出任何参考或来源。（2008年12月13日） |
在数学分析和有关的数学领域中，一个集合被称为有界的，如果它在特定意义上有有限大小。反过来说没有界的集合叫做无界的。
目录 |
定义 [编辑]
实数集合 S 被“上有界”的，如果对于所有 S 中的 s 有一个实数 k 使得 k ≥ s。这个数 k 被称为 S 的上界。可类似的定义术语“下有界”和下界。
集合 S 是有界的，如果它有上界和下界二者。所以，实数集合集合是有界的，如果它包含在有限区间内。
度量空间 [编辑]
度量空间 (M, d) 的子集 S 是有界的，如果它包含在有限半径的球内，就是说如果对于所有 S 中的 s存在 M 中的 x 并且 r > 0，我们有 d(x, s) < r。M 是有界度量空间（或 d 是有界度量），如果 M 作为自身的子集是有界的。
拓扑向量空间内的有界性 [编辑]
在拓扑向量空间中，存在叫做冯·诺伊曼有界性的不同的有界集合定义。如果拓扑向量空间的拓扑是引发自均匀度量，如度量是引发自赋范向量空间的范数的情况，则这两个定义是一致的。
序理论中的有界性 [编辑]
实数的集合是有界的，当且仅当它有上界和下界。这个定义可扩展到任何偏序集合的子集。注意这个更一般性的有界性概念不对应于“大小”的概念。
偏序集合 P 的子集 S 叫做上有界的，如果对于所有 S 中的 s，有 P 中一个元素 k 使得 k ≥ s。元素 k 叫做 S 的上界。可类似的定义下有界和下界。（参见上界和下界。）
偏序集合 P 的子集 S 叫做有界的，如果它有上界和下界二者，或等价的说，它被包含在一个区间内。注意这不是集合 S 自己的一个性质，而是集合 S 作为 P 的子集的性质。
有界偏序集合 P（就是说自身就是有界而不是作为子集）是有最小元素和最大元素的偏序集合。注意这个有界性的概念与有限大小无关，有界偏序集合 P 的子集 S 带有把在 P 上的次序的限制的作为次序不必然是有界偏序集合。
Rn 的子集 S 是关于欧几里得距离有界的，当且仅当它作为带有乘积序的 Rn 的子集是有界的。但是，S 可以作为关于带有词典序而不关于欧几里得距离的 Rn 的子集是有界的。
序数的类被称为是无界的，或共尾的，在给定任何序数的时候，总是有这个类的某个成员大于它。所以在这种情况下，“无界”不意味着自身是无界的而是作为序数类的子类是无界的。
