有限交集性质

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

点集拓扑学中,有限交集性质是集合 X 的子集的集合(子集族,即幂集P(X) 的子集)的性质。一个集合有这个性质如果这个集合的任何有限子集上的交集为非空。

定义[编辑]

X 是集合,带有 A=\{A_i\}_{i\in I}X子集族。则集合 A 有有限交集性质(fip),如果任何有限子集合 J\subset I 都有非空交集 \bigcap_{i\in J} A_i

讨论[编辑]

这个条件被平凡的满足,如果在整个搜集上的交集非空(特别是如果这个搜集自身是空的);它还被平凡的满足,如果这个搜集是嵌套的,这意味着对于任何有限子搜集,这个子搜集的特定元素被包含在这个子搜集的所有其他元素中,比如嵌套的区间序列

(0, 1/n)。

有限交集性质可用于公式化紧致性的可供替代的定义:一个空间是紧致的,当且仅当所有满足有限交集性质的闭集的搜集自身都有非空交集。[1]。这个紧致性的公式化用于吉洪诺夫定理实数不可数性的一些证明中。

例子[编辑]

例如滤子通过定义有有限交集性质。

定理[编辑]

X \neq \emptyset, F \subseteq 2^XF 有有限交集性质。则存在一个 F^\prime 超滤子(在 2^X 中)使得 F \subseteq F^\prime。详细证明参见 [2]

变体[编辑]

集合族 A强有限交集性质(sfip),如果所有 A 的有限子集合族有有限交集。

引用[编辑]

  1. ^ A space is compact if and only if the space has the finite intersection property on PlanetMath
  2. ^ Csirmaz, László and Hajnal, András: Matematikai logika. Eötvös Loránd University, Budapest, 1994. (online available, in Hungarian)