有限域

包含有限个元素的域被称为有限域。它在密码学中有着重要的应用。伽羅瓦还研究过所谓“伽羅瓦虚数”，即有限域的元素，因此又称有限域为伽羅瓦域。

定理

• 有限域的阶（有限域中元素的个数）是一个素数的方幂。
• 对于每个素数p和每个正整数n在同构的意义下存在惟一的$p^n$阶的有限域，并且所有元素都是方程 $x^{p^n}-x=0$ 的根，该域的特征为p。
• 有限域的乘法群是循环群。即若F是有限群，则存在$\alpha\in F$使得$F^*=\{x\in F|x\neq0\}=\langle\alpha\rangle$
• 有限域是完美域，即它的任何代数扩张一定是可分扩张
• 有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张，并且对应的伽罗瓦群是循环群。

一些小型的有限域

F₂:

 + | 0 1        · | 0 1
 --+----        --+----
 0 | 0 1        0 | 0 0
 1 | 1 0        1 | 0 1

F₃:

 + | 0 1 2       · | 0 1 2
 --+------       --+------
 0 | 0 1 2       0 | 0 0 0
 1 | 1 2 0       1 | 0 1 2
 2 | 2 0 1       2 | 0 2 1

F₄:

 + | 0 1 A B       · | 0 1 A B
 --+--------       --+--------
 0 | 0 1 A B       0 | 0 0 0 0
 1 | 1 0 B A       1 | 0 1 A B
 A | A B 0 1       A | 0 A B 1
 B | B A 1 0       B | 0 B 1 A

参考书目

• 《近世代数》