朗之万方程

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

在统计物理中,朗之万方程(保罗·朗之万,1908年)是一个描述自由度子集的时间演化的随机微分方程。这些自由度通常是集体(宏观的)变量,只相比该系统的其他(微观的)变量其改变较慢。快速(微观)变量是朗之万方程随机性的原因。

布朗运动为原型[编辑]

原朗之万方程[1]描述了布朗运动由于流体的分子的碰撞,粒子在流体中做无规则运动,

m\frac{d^{2}\mathbf{x}}{dt^{2}}=-\lambda \frac{d\mathbf{x}}{dt}+\boldsymbol{\eta}\left( t\right).

这里,自由度是粒子的位置xm表示粒子的质量。作用在粒子上的力写成正比于粒子的速度(斯托克斯定律)的粘滞力,和一个表示流体分子碰撞影响的噪声项 η(t)的和。力η(t)具有高斯概率分布相关函数

\left\langle \eta_{i}\left( t\right)\eta_{j}\left( t^{\prime}\right) \right\rangle =2\lambda k_{B}T\delta _{i,j}\delta \left(t-t^{\prime }\right) ,

其中kB波耳兹曼常数T是温度。该δ函数在时间上的相关性形式表示在时间t上的力,其被假定为在任何其他时间里完全不与它相关。这是一个近似值; 实际的随机力具有对应于分子碰撞时间的非零相关时间。然而,朗之万方程是用来描述在一个更长时间刻度上“宏观”粒子的运动,并在此极限上的δ-相关和朗之万方程变得精确。 朗之万方程的另一个典型特征是随机力的相关函数中衰减系数λ的出现,这一事实也被称为爱因斯坦关系

引用文献[编辑]

  1. ^ Langevin, P. Sur la théorie du mouvement brownien [On the Theory of Brownian Motion]. C. R. Acad. Sci. (Paris). 1908, 146: 530–533.  ; reviewed by D. S. Lemons & A. Gythiel: Paul Langevin’s 1908 paper "On the Theory of Brownian Motion" [...], Am. J. Phys. 65, 1079 (1997), DOI:10.1119/1.18725