朗伯W函数

W₀(x)的图像，−1/e ≤ x ≤ 4

朗伯W函数（英语：Lambert W function，又称为欧米加函数或乘积对数），是f(w) = we^w的反函数，其中e^w是指数函数，w是任意复数。对于任何复数z，都有：

$z = W(z)e^{W(z)}.$

由于函数f不是单射，因此函数W是多值的（除了0以外）。如果我们把x限制为实数，并要求w是实数，那么函数仅对于x ≥ −1/e有定义，在(−1/e, 0)内是多值的；如果加上w ≥ −1的限制，则定义了一个单值函数W₀(x)（见图）。我们有W₀(0) = 0，W₀(−1/e) = −1。而在[−1/e, 0)内的w ≤ −1分支，则记为W₋₁(x)，从W₋₁(−1/e) = −1递减为W₋₁(0⁻) = −∞。

朗伯W函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途，例如树的计算。它可以用来解许多含有指数的方程，也出现在某些微分方程的解中，例如y'(t) = a y(t − 1)。

复平面上的朗伯W函数

微分和积分

朗伯$W\,$函数的积分形式为

$W(x)=\frac{x}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{(1-v\cot v)^2+v^2}{x+v\csc v \cdot e^{-v\cot v}} {\rm{d}}v\,$

$W(x)=\int_{-\infty}^{-\frac{1}{e}}{-\frac{1}{\pi}}\Im \left[\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}W(x)\right]\ln (1-\frac{z}{x}){\rm{d}}x\,$

$W(x)=1+(\ln x-1)e^{\frac{\rm{i}}{2\pi}\int_0^{\infty}\frac{1}{1+t}\ln \frac{\ln x+t-\ln t-{\rm{i}}\pi}{\ln x+t-\ln t+{\rm{i}}\pi} {\rm{d} }t}\,$

$W_k(x)=1+(\ln x+2k\pi {{\rm{i}}-1 )e^{\frac{{\rm{i}}}{2\pi}\int_0^{\infty}\frac{1}{t+1}\ln \frac{\ln x+t-\ln t+(2k-1){\rm{i}}\pi}{\ln x+t-\ln t+(2k+1){\rm{i}}\pi}{\rm{d}}t}} \,$，

以上均要求:$x\in (-\infty,-\frac{1}{e}]\cup\mathbf[0,\infty),k\in \mathbb{Z}\,$

利用隐函数的求导法则，我们可以证明朗伯$W\,$函数满足以下的微分方程：

$z\left[1+W(z)\right]\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}W(z)=W(z)$，$z\neq -\frac{1}{e}\,,$

因此：

$\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}W(z)=\frac{ W(z) }{z\left[1 + W(z)\right]}$，$z\neq -\frac{1}{e} \,.$

函数$W(x)\,$，以及许多含有$W(x)\,$的表达式，都可以用$w=W(x)\,$的变量代换来积分，也就是说$x=we^w\,$

$\int W(x) {\rm{d}}x = x \left[ W(x)+ \frac{1}{W (x) }-1 \right] + C$

$\int_0^1 W(x) {\rm{d}}x = \Omega+\frac{1}{\Omega} -2\approx 0.330336$

性质

$1\,$、函数$y=z^{z^{z^{z^{z^{z^{z^{\cdots}}}}}}} \,$

的极限可以表示为$y=-\frac{W(-\ln z)}{\ln z}\,$

$2\,$、若$z>0 \,$，则$\ln W(z)=\ln z-W(z)\,$

泰勒级数

$W_0 \,$在$x=0 \,$的泰勒级数如下：

$W_0 (x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots$

收敛半径为 $\frac{1}{e}\,$ 。

加法定理

$W(x)+W(y)=W\left[\frac{xy}{W(x)}+\frac{xy}{W(y)}\right]\,$

$x>0,y>0\,$

複數值

實部

$\Re\left[W(x+y{\rm{i}})\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2)^k}\cos \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)\,$ , $x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,$

虛部

$\Im\left[W(x+y{\rm{i}})\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2)^k}\sin \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)\,$, $x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,$

模長

$|W(x+y{\rm{i}})|=W(\sqrt{x+y})\,$

模角

$\arg\left[W(x+y{\rm{i}})\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\arctan\left[\cot(k\arctan\frac{x}{y})\right]\,$, $x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,$

共軛值

$\overline{W(x+y{\rm{i}})}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2)^k}\left[\cos \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)-{\rm{i}}\sin \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)\right]\,$, $x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,$

特殊值

${}_{W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}{\rm{i}}}$

${}_{W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2}$

${}_{W\left(-{1\over e}\right) = -1}$

${}_{W\left(1\right) = \Omega=\frac{1}{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{{\rm{d}}x}{(e^x-x)^2+\pi^2}}-1\approx 0.56714329\dots}\,$（欧米加常数）

${}_{W(e) = 1}\,$

${}_{W(e^{e+1}) = e}\,$

${}_{W\left(\frac{1}{e^{1- \frac{1}{e}}}\right)= \frac{1}{e}}\,$

${}_{W(-\frac{1}{e})=-1}\,$

${}_{W({\pi}e^{\pi})=\pi}\,$

${}_{W(k{\ln k})={\ln k}}\,$ ${}_{(k>0)}\,$

${}_{W({\rm{i}}\pi)=-{\rm{i}}\pi}\,$

${}_{W(-{\rm{i}}\pi)={\rm{i}}\pi}\,$

${}_{W({\rm{i}}\cos1-\sin1)={\rm{i}}}\,$

${}_{W(-\frac{3}{2}{\pi})=-\frac{3}{2}{\pi}{\rm{i}}}\,$

${}_{W(-\frac{\sqrt[7]{8}}{7}{\ln 2})=-\frac{32}{7}{\ln 2}}\,$

${}_{W(-\frac{\sqrt{3}}{54}{\ln 3})=-\frac{9}{2}{\ln 3}}\,$

${}_{W(-\frac{\ln 2}{4})=-4{\ln 2}}\,$

${}_{W\left(-1\right)=\frac{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\arctan{2\pi\over t-\ln t}{\rm{d}}t}-\cos\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]+\pi\sin\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]-{\rm{i}}\left\{\pi\cos\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]+\sin\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]\right\}}{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\arctan{2\pi\over t-\ln t}{\rm{d}}t}}\approx -0.31813-1.33723{\rm{i}}} \,$

${}_{W(-\frac{\ln k}{k})=-\ln k}\,$

${}_{W\left[-\frac{\ln (x+1)}{x(x+1)^{\frac{1}{x}}}\right]=-\frac{x+1}{x}\ln (x+1)>,-1<x<0}\,$

应用

许多含有指数的方程都可以用$W\,$函数来解出。一般的方法是把未知数都移到方程的一侧，并设法化为$Y= Xe^X \,$的形式。

例子

例子1

$2^t = 5 t\,$

$\Rightarrow 1 = \frac{5 t}{2^t}\,$

$\Rightarrow 1 = 5 t \, e^{-t \ln 2}\,$

$\Rightarrow \frac{1}{5} = t \, e^{-t \ln 2}\,$

$\Rightarrow -\frac{\ln 2}{5} = ( - \, t \, \ln 2 ) \, e^{-t \ln 2}\,$

$\Rightarrow -t \ln 2 = W_k \left (-\frac{\ln 2}{5} \right )\,$

$\Rightarrow t = -\frac{ W_k \left ( -\frac{\ln 2}{5} \right )}{\ln 2}\,$

更一般地，以下的方程

$Q^{a x + b} = c x + d \,$

其中

$Q > 0 \and Q \neq 1\and c \neq 0$

两边同乘: $\frac{a}{c}$，

得到：$\frac{a}{c} Q^{ax+b} = ax + \frac{ad}{c} \,$

同除以：$Q^{ax} \,$，

得到：$\frac{a}{c} Q^{b} = \left(ax + \frac{ad}{c} \right)Q^{-ax} \,$

同除：$Q^{\frac{ad}{c}} \,$，

$\frac{a}{c} Q^{b-\frac{ad}{c}}= \left(ax + \frac{ad}{c}\right)Q^{-\left(ax+\frac{ad}{c}\right)} \,$

可以用变量代换

令$t = a x + \frac{a d}{c}$

化为

$t Q^{-t} = \frac{a}{c} Q^{b-\frac{a d}{c}}$

即：$t \left(e^{\ln Q}\right) ^{-t} = \frac{a}{c} Q^{b-\frac{a d}{c}}$

同乘：${\ln Q} \,$

得出

$t{\ln Q} \cdot e^{-t \ln Q}= \frac{a}{c} Q^{b-\frac{a d}{c}}$

故$t{\ln Q}=-W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)$

带入$t= a x + \frac{a d}{c}$

为

$\left(ax+\frac{ad}{c}\right){\ln Q}=-W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)$

因此最终的解为

$x = -\frac{W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}$

若辅助方程：$xe^x=-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}$中，

$-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} \in \left(-\infty ,-\frac{1}{e} \right)$,

辅助方程无实数解，原方程亦无实解；

若：$-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} \in \left\{-\frac{1}{e}\right\} \cup\mathbf [0,+\infty )$,

辅助方程有一实数解，原方程有一实解：

$x = -\frac{W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}$

若: $-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} \in \left(-\frac{1}{e},0 \right)$,

辅助方程有二实解，设为$W\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)$，

${\rm{W}}_{-1}\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)$，

为

$x_1=-\frac{W\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}$

$x_2=-\frac{{\rm{W}}_{-1}\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}$

例子2

用类似的方法，可知以下方程的解

$x^x={\mathrm{t}}\, ,$

为

$x=\frac{\ln{\rm{t}}}{W(\ln {\rm{t}})}\,$

或

$x=\exp\left(W_k\left[\ln({\rm{t}})\right]\right).$

例子3

以下方程的解

$x \log_b {x} = a \,$

具有形式

$x = \frac{a {\ln b}}{W_k\left(a {\ln b}\right)}$

例子4

$x^a-b^x=0\,$

$a > 0 \,$ : $b > 0 \,$ : $x > 0 \,$

取对数，

$a \ln x=x \ln b \,$

$\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln b}{a}\,$

$e^{\frac{\ln x}{x}}=e^{\frac{\ln b}{a}} \,$

$x^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{a}}\,$

取倒数，

$\left(\frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{x}}=b^{-\frac{1}{a}}\,$

$\frac{1}{x} =-\frac{\ln b}{aW\left(-\frac{1}{a} \ln b\right)}\,$

最终解为 : $x=-\frac{a}{\ln b}W_k\left(-\frac{\ln b}{a}\right)\,$

例子5

$(ax+b)^n=u^{cx+d} \,$

两边开$n \,$次方并除以$a \,$得

$x+\frac{b}{a}=\frac{u^{\frac{c}{n}x+\frac{d}{n}}}{a}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\,$

令$u=e^{\ln u}\,$ ，

化为

$x+\frac{b}{a}=\frac{e^{\frac{c\ln u}{n}x+\frac{d\ln u}{n}}}{a}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\,$

两边同乘

$-\frac{c\ln u}{n}u^{-\frac{c}{n}x-\frac{cb}{na}}\,$ ，

$\left(-\frac{c\ln u}{n}x-\frac{cb\ln u}{na}\right)e^{-\frac{c\ln u}{n}x-\frac{cb\ln u}{na}}=-\frac{c\ln u}{na}u^{\frac{d}{n}-\frac{cb}{na}}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\,$

最终得

$x_k=-\frac{n}{c\ln u}W_k\left[-\frac{c\ln u}{na}u^{\frac{d}{n}-\frac{cb}{na}}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\right]-\frac{b}{a}\,$

$k\in{\mathbb{Z}}\,$

一般化

標準的 Lambert W 函數可用來表示以下超越代數方程式的解：

$e^{-c x} = a_o (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$

其中 a₀, c 與 r 為實常數。

其解為$x = r + W( c e^{-c r}/a_o )/c$

Lambert W 函數之一般化 包括:

• 一項在低維空間內廣義相對論與量子力學的應用（量子引力），實際上一種以前未知的 連結 於此二區域中，如 “Journal of Classical and Quantum Gravity” 所示其 (1) 的右邊式現為二維多項式 x：

$e^{-c x} = a_o (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)$

其中 r₁ 和 r₂ 是不同實常數，為二維多項式的根。於此函數解有單一引數 x 但 r_i 和 a_o 為函數的參數。如此一來，此一般式類似於 “hypergeometric”（超几何分布）函數與 “Meijer G“，但屬於不同類函數。當 r₁ = r₂，(2)的兩方可分解為 (1) 因此其解簡化為標準 W 函數。(2)式代表著 “dilaton”（軸子）場的方程，可據此推導線性，雙體重力問題 1+1 維（一空間維與一時間維）當兩不等（靜止）質量，以及，量子力學的特徵能Delta位勢阱給不等電位於一維空間。

• 量子力學的一特例特徵能的分析解三體問題，亦即（三維）氢分子離子。於此 (1)（或 (2)）的右手邊現為無限級數多項式之比於 x：

$e^{-c x} = a_o \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)$

其中 r_i 與 s_i 是相異實常數而 x 是特徵能和內核距離R之函數。式 (3) 與其特例表示於 (1) 和 (2) 是與一更大類型延遲微分方程。

Lambert "W" 函數於基礎物理問題之應用並未完全即使標準情況如 (1) 最近在原子，分子，與光學物理領域可見。

图象

• 朗伯W函数在复平面上的图像
• 

  z = Re(W₀(x + i y))

• 

  z = Im(W₀(x + i y))

• 

  z = |W₀(x + i y)|

• 

计算

W函数可以用以下的递推关系算出：

$w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)} {2w_j+2}}$

外部链接

• MathWorld