朗伯W函数

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
W0(x)的图像,−1/ex ≤ 4

朗伯W函数英语Lambert W function,又称为欧米加函数乘积对数),是f(w) = wew反函数,其中ew指数函数w是任意复数。对于任何复数z,都有:

z = W(z)e^{W(z)}.

由于函数f不是单射,因此函数W多值的(除了0以外)。如果我们把x限制为实数,并要求w是实数,那么函数仅对于x ≥ −1/e有定义,在(−1/e, 0)内是多值的;如果加上w ≥ −1的限制,则定义了一个单值函数W0(x)(见图)。我们有W0(0) = 0,W0(−1/e) = −1。而在[−1/e, 0)内的w ≤ −1分支,则记为W−1(x),从W−1(−1/e) = −1递减为W−1(0) = −∞。

朗伯W函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途,例如的计算。它可以用来解许多含有指数的方程,也出现在某些微分方程的解中,例如y'(t) = a y(t − 1)。

复平面上的朗伯W函数

微分和积分[编辑]

朗伯W\,函数的积分形式为

W(x)=\frac{x}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{(1-v\cot v)^2+v^2}{x+v\csc v \cdot e^{-v\cot v}} {\rm{d}}v\,
W(x)=\int_{-\infty}^{-\frac{1}{e}}{-\frac{1}{\pi}}\Im \left[\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}x}W(x)\right]\ln (1-\frac{z}{x}){\rm{d}}x\,
W(x)=1+(\ln x-1)e^{-\frac{\rm{i}}{2\pi}\int_0^{\infty}\frac{1}{1+t}\ln \frac{\ln x+t-\ln t-{\rm{i}}\pi}{\ln x+t-\ln t+{\rm{i}}\pi} {\rm{d} }t}\,
W_k(x)=1+(\ln x+2k\pi {{\rm{i}}-1 )e^{-\frac{{\rm{i}}}{2\pi}\int_0^{\infty}\frac{1}{t+1}\ln \frac{\ln x+t-\ln t+(2k-1){\rm{i}}\pi}{\ln x+t-\ln t+(2k+1){\rm{i}}\pi}{\rm{d}}t}} \,

以上均要求:x\in (-\infty,-\frac{1}{e}]\cup\mathbf[0,\infty),k\in \mathbb{Z}\,

利用隐函数的求导法则,我们可以证明朗伯W\,函数满足以下的微分方程:

z\left[1+W(z)\right]\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}W(z)=W(z)z\neq -\frac{1}{e}\,,

因此:

\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}W(z)=\frac{ W(z) }{z\left[1 + W(z)\right]}z\neq -\frac{1}{e} \,.

函数W(x)\,,以及许多含有W(x)\,的表达式,都可以用w=W(x)\,变量代换来积分,也就是说x=we^w\,

\int W(x) {\rm{d}}x = x \left[ W(x)+ \frac{1}{W (x) }-1 \right] + C
\int_0^1 W(x) {\rm{d}}x = \Omega+\frac{1}{\Omega} -2\approx 0.330336

性质[编辑]

1\,、函数y=z^{z^{z^{z^{z^{z^{z^{\cdots}}}}}}} \,

的极限可以表示为y=-\frac{W(-\ln z)}{\ln z}\,

2\,、若z>0 \,,则\ln W(z)=\ln z-W(z)\,

泰勒级数[编辑]

W_0 \, x=0 \,的泰勒级数如下:


W_0 (x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots

收敛半径 \frac{1}{e}\,


加法定理[编辑]

W(x)+W(y)=W\left[\frac{xy}{W(x)}+\frac{xy}{W(y)}\right]\,
x>0,y>0\,

複數值[编辑]

實部

 \Re\left[W(x+y{\rm{i}})\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2)^k}\cos \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)\, , x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,

虛部

 \Im\left[W(x+y{\rm{i}})\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2)^k}\sin \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)\,, x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,

模長

|W(x+y{\rm{i}})|=W(\sqrt{x+y})\,

模角

\arg\left[W(x+y{\rm{i}})\right]=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\arctan\left[\cot(k\arctan\frac{x}{y})\right]\,, x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,

共軛值

 \overline{W(x+y{\rm{i}})}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-k)^{k-1}}{k!}\sqrt{(x^2+y^2)^k}\left[\cos \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)-{\rm{i}}\sin \left(k\arctan\frac{x}{y}\right)\right]\,, x^2+y^2<\frac{1}{e^2}\,

特殊值[编辑]

{}_{W\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}{\rm{i}}}
{}_{W\left(-\frac{\ln 2}{2}\right)= -\ln 2}
{}_{W\left(-{1\over e}\right) = -1}
{}_{W\left(1\right) = \Omega=\frac{1}{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{{\rm{d}}x}{(e^x-x)^2+\pi^2}}-1\approx 0.56714329\dots}\,欧米加常数
{}_{W(e) = 1}\,
{}_{W(e^{e+1}) = e}\,
{}_{W\left(\frac{1}{e^{1- \frac{1}{e}}}\right)= \frac{1}{e}}\,
{}_{W(-\frac{1}{e})=-1}\,
{}_{W({\pi}e^{\pi})=\pi}\,
{}_{W(k{\ln k})={\ln k}}\, {}_{(k>0)}\,
{}_{W({\rm{i}}\pi)=-{\rm{i}}\pi}\,
{}_{W(-{\rm{i}}\pi)={\rm{i}}\pi}\,
{}_{W({\rm{i}}\cos1-\sin1)={\rm{i}}}\,
{}_{W(-\frac{3}{2}{\pi})=-\frac{3}{2}{\pi}{\rm{i}}}\,
{}_{W(-\frac{\sqrt[7]{8}}{7}{\ln 2})=-\frac{32}{7}{\ln 2}}\,
{}_{W(-\frac{\sqrt{3}}{54}{\ln 3})=-\frac{9}{2}{\ln 3}}\,
{}_{W(-\frac{\ln 2}{4})=-4{\ln 2}}\,
{}_{W\left(-1\right)=\frac{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\arctan{2\pi\over t-\ln t}{\rm{d}}t}-\cos\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]+\pi\sin\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]-{\rm{i}}\left\{\pi\cos\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]+\sin\left[\frac{1}{4\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\ln{\left(t-\ln t\right)^2\over 4\pi^2+\left(t-\ln t\right)^2}{\rm{d}}t\right]\right\}}{e^{\frac{1}{2\pi}\int_0^\infty{1\over t+1}\arctan{2\pi\over t-\ln t}{\rm{d}}t}}\approx -0.31813-1.33723{\rm{i}}} \,
{}_{W(-\frac{\ln k}{k})=-\ln k}\,
{}_{W\left[-\frac{\ln (x+1)}{x(x+1)^{\frac{1}{x}}}\right]=-\frac{x+1}{x}\ln (x+1)>,-1<x<0}\,

应用[编辑]

许多含有指数的方程都可以用W\,函数来解出。一般的方法是把未知数都移到方程的一侧,并设法化为Y= Xe^X \,的形式。

例子[编辑]

例子1
2^t  = 5 t\,
\Rightarrow 1 = \frac{5 t}{2^t}\,
\Rightarrow 1 = 5 t \, e^{-t \ln 2}\,
\Rightarrow \frac{1}{5} = t \, e^{-t \ln 2}\,
\Rightarrow -\frac{\ln 2}{5} = ( - \, t \, \ln 2 ) \, e^{-t \ln 2}\,
\Rightarrow -t \ln 2 = W_k \left (-\frac{\ln 2}{5} \right )\,
\Rightarrow t = -\frac{ W_k \left ( -\frac{\ln 2}{5} \right )}{\ln 2}\,

更一般地,以下的方程

 Q^{a x + b} = c x + d \,

其中

 Q > 0 \and Q \neq 1\and c \neq 0

两边同乘:  \frac{a}{c}

得到: \frac{a}{c} Q^{ax+b} = ax + \frac{ad}{c}  \,

同除以: Q^{ax} \,

得到: \frac{a}{c} Q^{b} = \left(ax + \frac{ad}{c} \right)Q^{-ax} \,

同除: Q^{\frac{ad}{c}} \,

\frac{a}{c} Q^{b-\frac{ad}{c}}= \left(ax + \frac{ad}{c}\right)Q^{-\left(ax+\frac{ad}{c}\right)}  \,

可以用变量代换

 t = a x + \frac{a d}{c}

化为

 t Q^{-t} = \frac{a}{c} Q^{b-\frac{a d}{c}}

即: t \left(e^{\ln Q}\right) ^{-t} = \frac{a}{c} Q^{b-\frac{a d}{c}}

同乘: {\ln Q} \,

得出

 t{\ln Q} \cdot e^{-t \ln Q}= \frac{a}{c} Q^{b-\frac{a d}{c}}

 t{\ln Q}=-W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)

带入 t= a x + \frac{a d}{c}

 \left(ax+\frac{ad}{c}\right){\ln Q}=-W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)

因此最终的解为

 x = -\frac{W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}

若辅助方程: xe^x=-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} 中,

-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} \in \left(-\infty ,-\frac{1}{e} \right) ,

辅助方程无实数解,原方程亦无实解;

若:-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} \in \left\{-\frac{1}{e}\right\} \cup\mathbf [0,+\infty ) ,

辅助方程有一实数解,原方程有一实解:

 x = -\frac{W_k\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}

若: -\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}} \in \left(-\frac{1}{e},0 \right) ,

辅助方程有二实解,设为W\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)

{\rm{W}}_{-1}\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)

 x_1=-\frac{W\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}

 x_2=-\frac{{\rm{W}}_{-1}\left(-\frac{a\ln Q}{c}\,Q^{b-\frac{a d}{c}}\right)}{a\ln Q} - \frac{d}{c}

例子2

用类似的方法,可知以下方程的解

x^x={\mathrm{t}}\, ,

x=\frac{\ln{\rm{t}}}{W(\ln {\rm{t}})}\,

x=\exp\left(W_k\left[\ln({\rm{t}})\right]\right).
例子3

以下方程的解

x \log_b {x} = a \,

具有形式

x = \frac{a {\ln b}}{W_k\left(a {\ln b}\right)}


例子4
x^a-b^x=0\,
 a > 0 \, :  b > 0 \, :  x > 0 \,

取对数,

 a \ln x=x \ln b \,
 \frac{\ln x}{x}=\frac{\ln b}{a}\,
e^{\frac{\ln x}{x}}=e^{\frac{\ln b}{a}} \,
x^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{a}}\,

取倒数,

 \left(\frac{1}{x} \right)^{\frac{1}{x}}=b^{-\frac{1}{a}}\,
 \frac{1}{x} =-\frac{\ln b}{aW\left(-\frac{1}{a} \ln b\right)}\,

最终解为 :  x=-\frac{a}{\ln b}W_k\left(-\frac{\ln b}{a}\right)\,

例子5
(ax+b)^n=u^{cx+d} \,

两边开n \,次方并除以a \,

x+\frac{b}{a}=\frac{u^{\frac{c}{n}x+\frac{d}{n}}}{a}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\,

u=e^{\ln u}\,

化为

x+\frac{b}{a}=\frac{e^{\frac{c\ln u}{n}x+\frac{d\ln u}{n}}}{a}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\,

两边同乘

-\frac{c\ln u}{n}u^{-\frac{c}{n}x-\frac{cb}{na}}\,

\left(-\frac{c\ln u}{n}x-\frac{cb\ln u}{na}\right)e^{-\frac{c\ln u}{n}x-\frac{cb\ln u}{na}}=-\frac{c\ln u}{na}u^{\frac{d}{n}-\frac{cb}{na}}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\,

最终得

x_k=-\frac{n}{c\ln u}W_k\left[-\frac{c\ln u}{na}u^{\frac{d}{n}-\frac{cb}{na}}\left(\cos\frac{2k\pi}{n}+{\rm{i}}\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\right]-\frac{b}{a}\,

k\in{\mathbb{Z}}\,

一般化[编辑]

標準的 Lambert W 函數可用來表示以下超越代數方程式的解:

 e^{-c x} = a_o (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)

其中 a0, cr 為實常數。

其解為 x = r + W( c e^{-c r}/a_o )/c

Lambert W 函數之一般化[1][2][3] 包括:

  • 一項在低維空間內廣義相對論量子力學的應用(量子引力),實際上一種以前未知的 連結 於此二區域中,如 “Journal of Classical and Quantum Gravity”[4] 所示其 (1) 的右邊式現為二維多項式 x:
 e^{-c x} = a_o (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)
其中 r1r2 是不同實常數,為二維多項式的根。於此函數解有單一引數 xriao 為函數的參數。如此一來,此一般式類似於 “hypergeometric”(超几何分布)函數與 “Meijer G“,但屬於不同類函數。當 r1 = r2,(2)的兩方可分解為 (1) 因此其解簡化為標準 W 函數。(2)式代表著 “dilaton”(軸子)場的方程,可據此推導線性,雙體重力問題 1+1 維(一空間維與一時間維)當兩不等(靜止)質量,以及,量子力學的特徵能Delta位勢阱給不等電位於一維空間。
  • 量子力學的一特例特徵能的分析解三體問題,亦即(三維)氢分子離子[5]於此 (1)(或 (2))的右手邊現為無限級數多項式之比於 x
 e^{-c x} = a_o \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)
其中 risi 是相異實常數而 x 是特徵能和內核距離R之函數。式 (3) 與其特例表示於 (1) 和 (2) 是與一更大類型延遲微分方程

Lambert "W" 函數於基礎物理問題之應用並未完全即使標準情況如 (1) 最近在原子,分子,與光學物理領域可見。[6]

图象[编辑]

计算[编辑]

W函数可以用以下的递推关系算出:


w_{j+1}=w_j-\frac{w_j e^{w_j}-z}{e^{w_j}(w_j+1)-\frac{(w_j+2)(w_je^{w_j}-z)}
{2w_j+2}}

参考来源[编辑]

  1. ^ T.C. Scott and R.B. Mann, General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no. 1, (April 2006), pp.41-47, [1]; Arxiv [2]
  2. ^ T.C. Scott, G. Fee and J. Grotendorst, "Asymptotic series of Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 47, no. 3, (September 2013), pp. 75-83
  3. ^ T.C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst and W.Z. Zhang, "Numerics of the Generalized Lambert W Function", SIGSAM, vol. 48, no. 2, (June 2014), pp. 42-56
  4. ^ P.S. Farrugia, R.B. Mann, and T.C. Scott, N-body Gravity and the Schrödinger Equation, Class. Quantum Grav. vol. 24, (2007), pp. 4647-4659, [3]; Arxiv [4]
  5. ^ T.C. Scott, M. Aubert-Frécon and J. Grotendorst, New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. vol. 324, (2006), pp. 323-338, [5]; Arxiv [6]
  6. ^ T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini and J.D. Morgan III, The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75, (2007), p. 060101, [7]

外部链接[编辑]