朗斯基行列式

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数学中,朗斯基行列式(Wronskian)名自波兰数学家约瑟夫·侯恩·朗斯基,是用于计算微分方程解空间函数

对于给定的 nn-1连续可微函数,f1、...、fn,它们的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) 为:


W(f_1, \ldots, f_n) =
\begin{vmatrix} 
f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\
f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)}
\end{vmatrix}

行列式的第 i 列是f1、...、fn 各函数的 i-1导数。组成这个行列式的 n方阵也称作这 n 个函数的基本矩阵

在解线性微分方程时,朗斯基行列式可以用阿贝尔恒等式来计算。

朗斯基行列式与线性无关解[编辑]

朗斯基行列式可以用来确定一组函数在给定区间上的线性相关性。

对于 nn-1连续可微函数 f1、...、fn,它们的朗斯基行列式 W(f1, ..., fn) :


W(f_1, \ldots, f_n) =
\begin{vmatrix} 
f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\
f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)}
\end{vmatrix}

定理:

   如果 f1、...、fn 在一个区间 [a,b] 上线性相关,则 W(f1, ..., fn) 在区间 [a,b] 上恒等于零

也就是说,如果在某些点上 W(f1, ..., fn) 不等于零,则 f1、...、fn 线性无关

注意,若 W(f1, ..., fn) 在区间 [a,b] 上恒等于零,函数组不一定线性相关。

齐次线性微分方程[编辑]

考虑 n 阶线性微分方程

 \frac{d^{n} x}{dt^{n}} + a_1(t) \frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{n-1}(t) \frac{dx}{dt} +a_n(t)x= f(t)  \qquad  \qquad  \qquad (1)

其中 a_1(t), \ a_2(t), \ \cdots , \ a_n(t) , \ f(t) 是区间 [a,b] 上的连续函数。并考虑f(t) = 0 ,即 n 阶齐次线性微分方程的情形:

 \frac{d^{n} x}{dt^{n}} + a_1(t) \frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{n-1}(t) \frac{dx}{dt} +a_n(t)x= 0 \qquad  \qquad  \qquad  \quad (2)

对于一组给定的初始值:

 x(0) = x_0 , \ \frac{dx}{dt}(0) = x_1 , \ \cdots , \ \frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}}(0) = x_{n-1}

方程 (1) 有唯一解 x= \phi (t) 。如果初始值不定的话,(2) 的任一解加上 x= \phi (t) 仍然是 (1) 的解。而对于 (2) ,任意k个 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解,因此 (2) 的解集构成一个线性空间,称为 (2) 的解空间

定理的证明[编辑]

如果 f1、...、fn 在一个区间 [a,b] 上线性相关,则存在不全为零的系数 c_1, \ c_2 \ \cdots , \ c_n 使得对区间 [a,b] 上的任意 t

c_1 f_1(t)+c_2 f_2(t) + \cdots c_n f_n(t)=0

因为“微分”是线性算子,所以这个等式可以“延伸”到n-1阶导数。故有以下方程组:

\begin{cases} c_1 f_1(t)+c_2 f_2(t) + \cdots c_n f_n(t)=0  \\ c_1 f_1'(t)+c_2 f_2'(t) + \cdots c_n f_n'(t)=0 \\ \ldots \\c_1 f_1^{(n-1)}(t)+c_2 f_2^{(n-1)}(t) + \cdots c_n f_n^{(n-1)}(t)=0   \end{cases}

 c_1, \ c_2 \ \cdots , \ c_n 看作变量,则上式变为一个 n 元齐次线性方程组,由于这个方程有非零解,系数矩阵的行列式 W(f1, ..., fn) = 0。

进一步可以证明, W(f1, ..., fn) 要么在区间 [a,b] 上恒等于零,要么处处不为零(没有零根)。于是可以证明 (2) 有 n 个线性无关的解,并且它们线性张成的空间就是 (2) 的解空间。所以, (2) 的解空间是一个 n 维线性空间。 (2) 一组 n 个线性无关的解称作它的一个基本解组

例子[编辑]

1. 考虑三个函数:1、xx2,在任意一个区间上,他们的朗斯基行列式是:


W = 
\begin{vmatrix}
x^2 & x & 1 \\
2x & 1 & 0 \\
2 & 0 & 0
\end{vmatrix}
= -2.

不等于零,因此,这三个函数在任一个区间上都是线性无关的。

2.考虑另三个函数:1、x2和2x2+3,在任意一个区间上,他们的朗斯基行列式是:


W = 
\begin{vmatrix}
2x^2 + 3 & x^2 & 1 \\
4x & 2x & 0 \\
4 & 2 & 0
\end{vmatrix}
= 8x-8x = 0.

事实上三者线性相关。

3.上面已经提到,朗斯基行列式等于零的函数组不一定线性相关。下面是一个反例:考虑两个函数,x3和|x3|,即x3绝对值。计算两者的朗斯基行列式


W = \left\{
\begin{matrix}
  \begin{vmatrix}
  x^3 & -x^3 \\
  3x^2 & -3x^2
  \end{vmatrix}
= -3x^5 + 3x^5 = 0,  x < 0 \\
  \begin{vmatrix}
  x^3 & x^3 \\
  3x^2 & 3x^2
  \end{vmatrix}
= 3x^5 - 3x^5 = 0, x \geq 0
\end{matrix}
\right.

他们的朗斯基行列式恒等于零,但两者显然线性无关。

参考[编辑]

外部链接[编辑]