朗蘭茲綱領

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朗蘭茲綱領數學中一系列影響深遠的構想,聯繫數論代數幾何约化群表示理論;綱領最初由羅伯特·朗蘭茲於1967年在一封給韦伊信件中提出。

起源:數論[编辑]

我们可以二次互反律之推廣阿廷互反律為朗蘭茲綱領之起點: 給定一個Q上的、伽羅瓦群可交換群數域阿廷互反律向這個伽羅瓦群的任何一支一維表示配上一枚L函數,並斷言:此等 L-函數俱等於某些 狄利克雷L函數黎曼ζ函數的類推,由狄利克雷特徵表達)。此二種L-函數之間的準確的聯繫構成了阿廷互反律。

若給定不可交換伽羅瓦群及其高維表示,我们仍可定義一些自然的相配的L-函數——阿廷L函數

推廣:自守表示理論架構[编辑]

朗蘭茲洞察到:當找到適當的狄利克雷L-函數的推廣,便有可能推廣阿廷互反律。

赫克Erich Hecke)曾聯繫全純自守形式(定義於上半複平面上、滿足某些函數方程全純函數)與狄利克雷L函數。朗蘭茲推廣赫克理論,以應用於自守尖點表示自守尖點表示Q-阿代爾環一般線性群 GLn 的某類無限維不可約表示)。

朗蘭茲為這些自守表示配上L-函數,然後猜想:

互反猜想. 每一來自給定數域的伽羅瓦群的有限維表示的阿廷 L-函數,都相等於某一來自自守尖點表示的L-函數。

若要建立一一對應,須考慮較伽羅瓦群的適當擴張,稱作韋依-德利涅群。在可交換的例子,這相當於將狄利克雷特徵推廣為赫克特徵德文舊稱 Größencharakter)。互反猜想蘊含阿廷猜想

再推廣:函子性原則[编辑]

朗蘭茲再進一步推廣:

  • 以任何連通约化群 G 代替上文中的一般線性群 GLn
  • 構築複李群 LG(所謂朗蘭茲對偶群,或L群);
  • 以自守表示的L包代替自守表示;每個L包是自守表示組成的有限集,屬同一L包的表示稱作L不可辨的。
  • 向每一個 G的自守尖點表示和每一個 LG的有限維表示,配與一個L-函數;同一L包中的表示有相同的 L-函數及 \epsilon-因子。朗蘭茲並猜想:此兩個 L-函數滿足某函數方程

朗蘭茲更構想了一道非常廣泛的函子性原則(Functoriality Principle

函子性猜想. 若指定二约化群,並指定其相應的L群之間的可容許同態,則二约化群的自守表示之間應該有某種與其 L-函數相容之關係。

函子性猜想蘊含廣義拉馬努金猜想

函子性構想本質上是一種誘導表示構造(在传统的自守形式理论中称为提升,在某些特殊情况下已知),因而是協變的(相反地,受限表示構造是逆變的)。各種直接構造的嘗試只產生了一些條件性的结果。

上述各猜想亦有其他域上的版本:數域(最早期的版本)、局部域函數域(即Fp(t)的有限擴張; 其中p 是一 素數Fp(t) 是 p 元有限域上的有理函數域)。局部域的與數域的朗蘭茲綱領滿足一些相容性,二者之方法亦互為用。

朗蘭茲綱領的指導思想[编辑]

朗蘭茲綱領建基於當時已存在的念頭:盖尔芳特之前幾年寫的 《尖點形式之啟示》(The Philosophy of Cusp Forms);哈瑞希·昌得拉en:Harish-Chandra)研究 半單李群 的結果和方法;而技術上則有塞爾伯格等的塞爾伯格迹公式

朗蘭茲的創見,除技術之深以外,在於他提出上述理論與數論的直接聯係,以及其構想中豐富的總體結構(即所謂函子性者也)。

例如在哈瑞希·昌得拉的工作中,我们可見以下原則:

「任何對某一半單(或约化)李群可能做的,應對所有都做。」

故一旦認清一些低維李群 —如 GL2 —在模形式理論之角色,並反觀 GL1類域論之角色,我们至少可推測一般 GLn 的情況。

尖點形式之念頭來自模曲線上的尖點,在譜理論上對應於離散譜;對比之下連續譜則來自艾森斯坦級數。但當給定的李群越大,則拋物子群越多,技術上則越複雜。

在此等研究途徑中不乏各種技巧——通常基於列維分解等事實、具誘導表示的性質 ——但這領域一直都很困難。

模形式方面,亦有例如希爾伯特模形式西格爾模形式theta-級數等等面向。

內窺現象[编辑]

內窺(Endoscopy)意謂「在一般共軛中窺見穩定共軛」;共軛意謂群的共軛作用 x \mapsto gxg^{-1};穩定共軛則意謂可取 g \in G(\bar{F});穩定共軛類可分解為有限個一般共軛類。穩定共軛與一般共軛之別造成上述的L-不可辨性。

亞瑟-塞爾伯格跡公式是處理函子性猜想及志村簇哈瑟-韋伊ζ函數之利器。在技術上,我们需要一穩定跡公式,穩定化有賴於將 G 之一般軌道積分表成內窺群上的穩定軌道積分。內窺理論旨在配對群及其內窺群的軌道積分,稱作內窺傳遞;其關鍵則是所謂的基本引理

內窺傳遞不僅是工具,也涵攝函子性猜想的一些特例。

幾何化朗蘭茲綱領[编辑]

數域上的朗蘭茲綱領可以翻譯到幾何的框架,大略步驟如下:

  1. 以緊黎曼曲面 C亞純函數域取代數域
  2. 基本群取代伽羅瓦群
  3. 局部系統取代伽羅瓦表示
  4. 以秩 n 向量叢的模空間 \mathrm{Bun}_{n/C} 取代 \mathrm{GL}(n,\mathbb{Q})\backslash\mathrm{GL}(n,\mathbb{A}_\mathbb{Q})/K
  5. 反常層取代自守形式
  6. 赫克本徵層取代赫克本徵形式

幾何化朗蘭茲綱領與規範場論[编辑]

2006年,愛德華·威滕和 Anton Kapustin 建議:

參考[编辑]

部份結果[编辑]

部份朗蘭茲綱領的項目已經完成。

獎項[编辑]

洛朗·拉福格憑其在函數域上的工作獲得2002年菲爾茲獎。拉福格的工作延續了較早期的德林費爾德得菲爾茲獎(1990)的研究。數域方面只有一些特例被證明了,有些是朗蘭茲自己完成的。

朗蘭茲

參考[编辑]