期望值 (量子力學)

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在量子力學裏，期望值（英语：expection value）是對於一個測量實驗的結果的預想平均值。通常，這結果會呈機率分佈。為了要正確的得到平均值，必須做很多次同樣的實驗。而且，每一次實驗的初始狀態、整體配置、設備操作、與測量方法，都必須完全一樣。這樣測得的平均值才能準確地等於期望值。

運作定義解釋

量子力學顯示出一種內在的統計行為。同樣的一個實驗重複地做很多次，每次測量的結果通常不會一樣。只有從很多的測量結果，計算出來的統計平均值，才是一個可複製的數值。量子理論並不能預先地估計每一個單獨測量的結果，只能預先地估計測量的結果的統計平均值。這預估的平均值稱為期望值。

量子力學形式論

雖然對於實驗結果平均值的計算，量子力學與古典力學的方法都一樣。但是，量子力學形式論裏對於可觀察量的數學表示與古典的測度論迥然不同。量子實驗只能測量可觀察量，測量的結果是可觀察量的本徵值；同時，按照哥本哈根詮釋，量子系統的量子態會塌縮為對應於本徵值的本徵態。量子態 $\sigma\,\!$ 的可觀察量 $A\,\!$ 的期望值標記為 $\langle A \rangle\,\!$ 。

更精確地描述，可觀察量 $A\,\!$ 是一個作用於希爾伯特空間的厄米算符，量子態 $\sigma\,\!$ 則以純態的形式存在於希爾伯特空間。標記其態向量為 $|\psi\rangle\,\!$ 。量子態 $\sigma\,\!$ 的可觀察量 $A\,\!$ 的期望值可以用狄拉克標記定義為

$\langle A \rangle\ \stackrel{def}{=}\ \langle \psi | A| \psi \rangle\,\!$ 。(1)

當思考動力量子系統時，態向量 $|\psi\rangle\,\!$ 或算符 $A\,\!$ ，兩者之中，任何一個，都可以設定為相依於時間，這決定於採用薛丁格繪景或海森堡繪景。不論選擇的是那一種繪景，最後求得的期望值都是相同的。

假設 $A\,\!$ 的一組本徵值為 $a_j\,\!$ 的本徵向量 $|\phi_j\rangle,\quad j=1,\,2,\,3,\,\dots\ \,\!$ 形成了一個標準正交基。那麼，方程式 (1) 可以表達為

$\langle A \rangle= \sum_j |\langle \phi_j |\psi \rangle|^2 a_j \,\!$ 。(2)

這個表達式像是一個算術平均式，表明了期望值的物理意義：本徵值 $a_j\,\!$ 是實驗的可能結果，對應的係數 $|\langle\phi_j|\psi\rangle|^2\,\!$ 是這結果可能會發生的機率，又稱為躍遷機率。總合所有本徵值與其對應的機率係數的乘積，這總合數值就是期望值。

舉一個相當簡單的例子，假設 $A\,\!$ 是一個投影算符，則本徵值為 $0\,\!$ 或 $1\,\!$ 。這對應於一種「是非題」類型的物理實驗，這例子的期望值是實驗結果為 $1\,\!$ 的機率，可以計算為

$\langle A \rangle= \| A \psi \|^2\,\!$ 。(3)

量子理論允許連續譜（continuous spectrum）的算符，像位置算符 $Q\,\!$ 。這算符並沒有離散的本徵值，而是擁有一個完備的連續譜。對於這案例，態向量 $|\psi\rangle\,\!$ 可以寫為一個 $Q\,\!$ 的連續譜的複函數 $\psi(x)\,\!$ ，這是表示於位置空間的波函數。位置的期望值可以寫為

$\langle Q \rangle= \int \, x \, |\psi(x)|^2 \, dx\,\!$ 。(4)

假若一個量子系統擁有動量的連續譜，則動量算符 $P\,\!$ 也有類似的方程式存在，可以用 表示於動量空間的波函數來計算 $P\,\!$ 的期望值。

前面所述的方程式只能應用於純態 $\sigma\,\!$ 。在熱力學的研究裏，時常會遇到混合態的案例。混合態可以用一個正值的跡類（trace-class）算符 $\rho = \sum_i \rho_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |\,\!$ 來描述。跡類算符是一種統計算符或密度矩陣。期望值可以用下述方程式計算

$\langle A \rangle= \mathrm{Trace} (\rho A) = \sum_i \rho_i \langle \psi_i | A \psi_i \rangle=\sum_i\rho_i \langle A \rangle_{\psi_i} \,\!$ ；(5)

其中，$\langle A \rangle_{\psi_i}\,\!$ 是量子態 $\psi_i\,\!$ 的可觀察量 $A\,\!$ 的期望值。

位置空間粒子

採用位置空間表現，設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏，希爾伯特空間是 $\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})\,\!$ ，是實值定義域的平方可積函數的空間。態向量 $|\psi\rangle\in\mathcal{H}\,\!$ 表示為波函數 $\psi(x)\,\!$ 。兩個態向量的內積是 $\langle \psi_1| \psi_2 \rangle = \int \psi_1^*(x)\psi_2(x) \, \mathrm{d}x\,\!$ 。粒子的位置處於一段長度為 $dx\,\!$ 的微小區間內的機率是

$P(x) dx = \psi^*(x)\psi(x) dx\,\!$ 。

思考位置算符 $\hat{x}\,\!$ ，一個對應於可觀察量 $x\,\!$ 的算符，作用於波函數 $\psi\,\!$ 。位置算符的方程式可以表達為

$\hat{x}\psi (x) = x \psi(x)\,\!$。

從一個系綜的很多同樣的獨立系統，對於可觀察量 $x\,\!$ 作同樣的測量，所得的期望值，或平均測量值，可以表達為

$\langle x \rangle= \langle \psi | \hat{x} \psi \rangle =\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^\ast(x) \, x \, \psi(x) \, \mathrm{d}x= \int_{ - \infty}^{\infty} x \, |\psi(x)|^2 \, \mathrm{d}x \,\!$ 。

值得注意的是，只有當積分收斂時，期望值才會存在。很多函數無法使積分收斂。位置算符是個無界算符（unbounded operator）。為了使積分收斂，我們必須適當地設定波函數的形式與定義域。

通常而言，假若能夠找到對應於可觀察量 $Q\,\!$ 的算符 $\hat{Q}\,\!$ ，就可以計算 $Q\,\!$ 的期望值。例如，在位置空間裏，動量算符 $\hat{p}\,\!$ 的形式為：

$\hat{p}= \frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\,\!$ 。

所以，動量的期望值為

$\langle p \rangle=\frac{\hbar}{i} \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x) \, \frac{d\psi(x)}{dx}\, \mathrm{d}x\,\!$ 。

參閱

• 不確定性原理
• 維里定理
• 埃倫費斯特定理

參考文獻

• Isham, Chris J. Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations. Imperial College Press. 1995. ISBN 978-1860940019.